Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
2
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(\log_2\dfrac18+\log_5 25\).
Lösung
\(\log_2\dfrac18=\log_2 2^{-3}=-3\) und \(\log_5 25=\log_5 5^2=2\). Daher \(-3+2=-1\). Antwort: B.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
3
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(\log_3 18-\log_3 2\).
Lösung
Mit der Logarithmusregel gilt \(\log_3 18-\log_3 2=\log_3\dfrac{18}{2}=\log_3 9=2\). Antwort: A.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
4
Aufgabe
Numerische Antwort
Berechnen Sie \(\log_a 500-\log_a 4\), wenn \(\log_5 a=\dfrac14\).
Lösung
\(\log_a500-\log_a4=\log_a\dfrac{500}{4}=\log_a125=3\log_a5\). Mit dem Basiswechsel \(\log_a5=\dfrac1{\log_5a}=4\). Daher ist der Wert \(3\cdot4=12\). Antwort: \(12\).
Formen
Raster
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5
Aufgabe
Numerische Antwort
Bestimmen Sie den Wert des Ausdrucks \(6^{2\log_6 9-\log_6 4}\).
Lösung
\(2\log_6 9=\log_6 81\). Damit ist der Exponent \(\log_6\dfrac{81}{4}\), also \(6^{\log_6(81/4)}=\dfrac{81}{4}=20{,}25\). Antwort: \(20{,}25\).
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
6
Aufgabe
Numerische Antwort
Berechnen Sie \(\log_b a\), wenn \(\log_3 a=8\) und \(\log_3 b=5\).
Lösung
Nach der Basiswechsel-Formel gilt \(\log_b a=\dfrac{\log_3 a}{\log_3 b}=\dfrac85=1{,}6\). Antwort: \(1{,}6\).
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
7
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(\log_8 16\).
Lösung
\(8=2^3\) und \(16=2^4\), daher \(\log_8 16=\log_{2^3}2^4=\dfrac43\). Antwort: B.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
8
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Wenn \(\lg b=6\), dann ist \(\lg(10b^2)=\)
Lösung
\(\lg(10b^2)=\lg10+\lg b^2=1+2\lg b=1+2\cdot6=13\). Antwort: D.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
9
Aufgabe
Numerische Antwort
Berechnen Sie \(\log_{32}8-3^{\frac{2}{\log_7 3}}\).
Lösung
\(\log_{32}8=\dfrac35\). Außerdem ist \(\dfrac1{\log_7 3}=\log_3 7\), daher \(3^{\frac{2}{\log_7 3}}=3^{2\log_3 7}=49\). Somit \(\dfrac35-49=-48{,}4\). Antwort: \(-48{,}4\).
Formen
Raster
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10
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie die Summe \(3^x+3^{-x}\), wenn \(9^x+9^{-x}=47\).
Lösung
Setzen wir \(t=3^x+3^{-x}\). Dann \(t^2=9^x+2+9^{-x}=47+2=49\). Da beide Summanden positiv sind, ist \(t>0\), also \(t=7\). Antwort: A.
Formen
Raster
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11
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(36^{\log_6 5}\).
Lösung
Da \(36=6^2\), gilt \(36^{\log_6 5}=(6^2)^{\log_6 5}=6^{2\log_6 5}=(6^{\log_6 5})^2=5^2=25\). Antwort: D.
Formen
Raster
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12
Aufgabe
Zuordnung
Ordnen Sie jedem Satzanfang (1–4), wobei \(a>0\) und \(b>0\), die passende Ergänzung (A–E) zu, sodass eine wahre Aussage entsteht.
А
\(a=2b\) Б
\(a=2+b\) В
\(a=4b\) Г
\(a=b^2\) Д
\(a=4+b\)
Lösung
1) \(2\log_2 b=\log_2 b^2\), also \(a=b^2\) — D. 2) \(a^3=(2b)^3\), also \(a=2b\) — A. 3) Quadrieren ergibt \(a=4b\) — C. 4) \(4\cdot2^b=2^{b+2}\), also \(a=b+2\) — B. Zuordnung: 1–D, 2–A, 3–C, 4–B.
Formen
Raster
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13
Aufgabe
Zuordnung
Die positiven Zahlen \(x\) und \(y\) erfüllen \(\dfrac{x}{y}=\dfrac14\). Ordnen Sie jedem Ausdruck (1–2) seinen Wert (A–E) zu.
А
\(-2\) Б
\(1{,}25\) В
\(0{,}25\) Г
\(2\) Д
\(4\)
Lösung
1) \(\dfrac{x+y}{y}=\dfrac{x}{y}+1=\dfrac14+1=\dfrac54=1{,}25\) — B. 2) \(\log_2x-\log_2y=\log_2\dfrac{x}{y}=\log_2\dfrac14=-2\) — A. Zuordnung: 1–B, 2–A.
Formen
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14
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Geben Sie das Intervall an, in dem die Zahl \(\log_5 4\) liegt.
Lösung
Da \(1<4<5\) und die Basis \(5>1\) ist, gilt \(\log_5 1<\log_5 4<\log_5 5\), also \(0<\log_5 4<1\). Antwort: A.
Formen
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15
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(\log_{5^{-2}}5^{\frac12}\).
Lösung
Bei gleicher Basis \(5\) gilt \(\log_{5^{-2}}5^{1/2}=\dfrac{1/2}{-2}=-\dfrac14=-0{,}25\). Antwort: E.
Formen
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16
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Wenn \(2^a=\dfrac15\), dann ist \(2^{6-a}=\)
Lösung
\(2^{6-a}=\dfrac{2^6}{2^a}=\dfrac{64}{1/5}=64\cdot5=320\). Antwort: E.
Formen
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17
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(\log_2 5+\log_2 1{,}6\).
Lösung
Mit der Summenregel \(\log_2 5+\log_2 1{,}6=\log_2(5\cdot1{,}6)=\log_2 8=3\). Antwort: A.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
18
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(\log_3 54-\log_3 2\).
Lösung
\(\log_3 54-\log_3 2=\log_3\dfrac{54}{2}=\log_3 27=3\). Antwort: B.
Formen
Raster
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19
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Geben Sie das Intervall an, in dem die Zahl \(\log_2 9\) liegt.
Lösung
Da \(8<9<16\), mit \(8=2^3\) und \(16=2^4\), gilt \(3<\log_2 9<4\). Antwort: D.
Formen
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20
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Wenn \(\log_4 3=a\), dann ist \(\log_{16}9=\)
Lösung
\(\log_{16}9=\dfrac{\ln9}{\ln16}=\dfrac{2\ln3}{2\ln4}=\dfrac{\ln3}{\ln4}=\log_4 3=a\). Antwort: E.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
21
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(\log_a\sqrt{ab}\), wenn \(\log_a b=7\).
Lösung
\(\log_a\sqrt{ab}=\dfrac12(\log_a a+\log_a b)=\dfrac12(1+7)=4\). Antwort: E.
Formen
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22
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(\log_{\frac1{25}}\sqrt5\).
Lösung
\(\dfrac1{25}=5^{-2}\), \(\sqrt5=5^{1/2}\). Aus \((5^{-2})^x=5^{1/2}\) folgt \(-2x=\dfrac12\), also \(x=-\dfrac14\). Antwort: A.
Formen
Raster
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23
Aufgabe
Numerische Antwort
Berechnen Sie \(\log_3 4\cdot\log_4 5\cdot\log_5 7\cdot\log_7 81\).
Lösung
Mit der Basiswechsel-Formel kürzt sich das Produkt: \(\log_3 4\cdot\log_4 5\cdot\log_5 7\cdot\log_7 81=\log_3 81=4\). Antwort: \(4\).
Formen
Raster
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24
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie den Wert von \(\log_3 45+\log_3 900-\log_3 500\).
Lösung
\(\log_3 45+\log_3 900-\log_3 500=\log_3\dfrac{45\cdot900}{500}=\log_3 81=4\). Antwort: B.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
25
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Zu welchem der folgenden Intervalle gehört die Zahl \(\log_2\dfrac13\)?
Lösung
Da \(\dfrac14<\dfrac13<\dfrac12\) und \(y=\log_2x\) wächst, gilt \(-2<\log_2\dfrac13<-1\). Daher liegt die Zahl im Intervall \((-3;-1)\). Antwort: B.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
26
Aufgabe
Numerische Antwort
Berechnen Sie den Wert von \(\dfrac{\log_5 27}{\log_5 2-\log_5 162}\).
Lösung
\(\log_5 27=3\log_5 3\), und \(\log_5 2-\log_5 162=\log_5\dfrac1{81}=-4\log_5 3\). Daher ist der Wert \(-\dfrac34=-0{,}75\). Antwort: \(-0{,}75\).
Formen
Raster
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27
Aufgabe
Zuordnung
Ordnen Sie jedem Ausdruck (1–3) den identisch gleichen Ausdruck (A–E) zu, wenn \(a\) eine beliebige negative Zahl ist.
А
\(0\) Б
\(2a\) В
\(a^2\) Г
\(1\) Д
\(-2a\)
Lösung
1) \(a^0=1\) — D. 2) Für \(a<0\) gilt \(|a|=-a\), also \(|a|+a=0\) — A. 3) \(\log_2 2^a=a\), daher \(a\log_2 2^a=a^2\) — C. Zuordnung: 1–D, 2–A, 3–C.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
28
Aufgabe
Zuordnung
Ordnen Sie jedem Ausdruck (1–3) den identisch gleichen Ausdruck (A–E) zu, wenn \(a>0\) und \(a\ne1\).
А
\(a^2\) Б
\(a^7\) В
\(\dfrac1a\) Г
\(a\) Д
\(-a\)
Lösung
1) \(a^4:a^3=a\) — D. 2) \(\dfrac{a^2-a}{1-a}=-a\) — E. 3) \(7^{-\log_7 a}=\dfrac1a\) — C. Zuordnung: 1–D, 2–E, 3–C.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
29
Aufgabe
Zuordnung
Ordnen Sie jedem Ausdruck (1–3) das Intervall (A–E) zu, in dem sein Wert liegt, wenn \(a=4{,}5\).
А
\((-2;0)\) Б
\((0;1)\) В
\((1;2)\) Г
\((2;3)\) Д
\((3;5)\)
Lösung
1) \(4{,}5-2{,}7=1{,}8\in(1;2)\) — C. 2) \(\sqrt[3]{3{,}5-4{,}5}=-1\in(-2;0)\) — A. 3) Aus \(1<4{,}5<5\) folgt \(0<\log_5 4{,}5<1\) — B. Zuordnung: 1–C, 2–A, 3–B.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
30
Aufgabe
Zuordnung
Ordnen Sie jedem Ausdruck (1–3) die richtige Aussage über seinen Wert (A–E) zu, wenn \(a=-2\dfrac13\).
А
größer als \(5\) Б
liegt im Intervall \((0;1)\) В
ist negativ Г
liegt im Intervall \([1;5)\) Д
ist gleich \(0\)
Lösung
\(a=-\dfrac73\). 1) \(a^2=\dfrac{49}{9}>5\) — A. 2) Für \(a<0\) gilt \(|a|=-a\), daher \(a+|a|=0\) — E. 3) \(\log_5 5^a=a=-\dfrac73<0\) — C. Zuordnung: 1–A, 2–E, 3–C.
Formen
Raster
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31
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Geben Sie die richtige Doppelungleichung an, wenn \(a=0{,}5^{-1}\), \(b=0{,}2\), \(c=\log_{0{,}2}5\).
Lösung
\(a=0{,}5^{-1}=2\), \(b=0{,}2\). Da \(0{,}2=\dfrac15\), gilt \(c=\log_{1/5}5=-1\). Also \(-1\lt0{,}2\lt2\), daher \(c\lt b\lt a\). Antwort: A.
Formen
Raster
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32
Aufgabe
Numerische Antwort
Berechnen Sie \(400^{1-\log_{20}4}\).
Lösung
Da \(400=20^2\), gilt \(400^{1-\log_{20}4}=20^{2-2\log_{20}4}=\dfrac{20^2}{(20^{\log_{20}4})^2}=\dfrac{400}{16}=25\). Antwort: \(25\).
Formen
Raster
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33
Aufgabe
Eine richtige Antwort
In welcher Zeile sind die Zahlen \(\log_2 64\), \(\log_{64}2\), \(11\) aufsteigend angeordnet?
Lösung
\(\log_2 64=6\) und \(\log_{64}2=\dfrac16\). Daher \(\dfrac16<6<11\). Richtige Reihenfolge: \(\log_{64}2,\ \log_2 64,\ 11\). Antwort: A.
Formen
Raster
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34
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(\log_5 49+2\log_5\dfrac57\).
Lösung
\(\log_5 49+2\log_5\dfrac57=\log_5\left(49\cdot\dfrac{25}{49}\right)=\log_5 25=2\). Antwort: E.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
35
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(\left(\left(\dfrac13\right)^{\sqrt{18}}\right)^{\frac1{\sqrt2}}\).
Lösung
\(\left(\left(\dfrac13\right)^{\sqrt{18}}\right)^{1/\sqrt2}=\left(\dfrac13\right)^{\sqrt{18}/\sqrt2}=\left(\dfrac13\right)^3=\dfrac1{27}\). Antwort: B.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
36
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(2^{\log_4 9+\log_2 8}\).
Lösung
\(\log_4 9=\log_2 3\) und \(\log_2 8=3\). Somit ist der Exponent \(\log_2 3+3=\log_2 24\), also \(2^{\log_2 24}=24\). Antwort: B.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
37
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Bestimmen Sie den Wert von \(\log_{20}5+\log_{20}4+2\).
Lösung
\(\log_{20}5+\log_{20}4=\log_{20}20=1\). Daher \(1+2=3\). Antwort: C.
Formen
Raster
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38
Aufgabe
Numerische Antwort
Berechnen Sie \(4^{\log_2 9-\frac{2}{\log_{\sqrt3}2}}\).
Lösung
Es gilt \(\dfrac1{\log_{\sqrt3}2}=\log_2\sqrt3\). Der Exponent ist daher \(\log_2 9-2\log_2\sqrt3=\log_2 3\). Somit \(4^{\log_2 3}=9\). Antwort: \(9\).
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
39
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(27^{\log_{\sqrt3}\sqrt[6]{3}}+4\cdot5^{(\log_5 2)^2}-2^{\log_5 2}\cdot\log_2 16\).
Lösung
\(\log_{\sqrt3}\sqrt[6]{3}=\dfrac13\), also ist der erste Term \(27^{1/3}=3\). Außerdem gilt \(5^{(\log_5 2)^2}=\left(5^{\log_5 2}\right)^{\log_5 2}=2^{\log_5 2}\) und \(\log_2 16=4\). Die beiden letzten Terme heben sich auf. Der Wert ist \(3\). Antwort: C.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
40
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(\dfrac1{\log_{12}18}+\dfrac1{\log_{27}18}\).
Lösung
\(\dfrac1{\log_{12}18}=\log_{18}12\) und \(\dfrac1{\log_{27}18}=\log_{18}27\). Daher ist die Summe \(\log_{18}(12\cdot27)=\log_{18}324=2\). Antwort: D.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
