Vereinfachen Sie den Ausdruck \(\sin^2\alpha\,(1-\cot^2\alpha)\).
Lösung
\(\sin^2\alpha(1-\cot^2\alpha)=\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos 2\alpha\). Antwort: E.
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2
Aufgabe
Eine richtige Antwort
In welchem Intervall liegt der Wert von \(\sin 410^\circ\)?
Lösung
\(\sin410^\circ=\sin50^\circ\). Da der Sinus auf \((0^\circ;90^\circ)\) wächst und \(45^\circ<50^\circ<60^\circ\), gilt \(\dfrac{\sqrt2}{2}<\sin50^\circ<\dfrac{\sqrt3}{2}\). Antwort: D.
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3
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Geben Sie das Intervall an, in dem \(\cot25^\circ\) liegt.
Lösung
Auf \((0^\circ;90^\circ)\) ist \(\cot x\) fallend. Weil \(25^\circ<30^\circ\), gilt \(\cot25^\circ>\cot30^\circ=\sqrt3\). Also \(\cot25^\circ\in(\sqrt3;+\infty)\). Antwort: E.
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4
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Auf dem Einheitskreis sind der Punkt \(P(-0{,}8;0{,}6)\) und der Winkel \(\alpha\) dargestellt. Bestimmen Sie \(\cos\alpha\).
Lösung
Auf dem Einheitskreis ist der Kosinus die x-Koordinate des zugehörigen Punktes. Daher \(\cos\alpha=-0{,}8\). Antwort: A.
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5
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie \(2\cos(450^\circ+\alpha)-\sin\alpha\).
Lösung
\(\cos(450^\circ+\alpha)=\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha\). Daher \(2(-\sin\alpha)-\sin\alpha=-3\sin\alpha\). Antwort: B.
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6
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(\sin210^\circ\).
Lösung
\(210^\circ=180^\circ+30^\circ\), also \(\sin210^\circ=-\sin30^\circ=-\dfrac12\). Antwort: A.
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7
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Der Ausdruck \(\sin^2 2x\) ist identisch gleich:
Lösung
Mit \(\sin2x=2\sin x\cos x\) folgt \(\sin^22x=4\sin^2x\cos^2x\). Antwort: C.
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8
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie \(\dfrac{7-(\sin^2\beta+\cos^2\beta)}{3\sin^2\beta+3\cos^2\beta}\).
Lösung
Da \(\sin^2\beta+\cos^2\beta=1\), ist der Ausdruck \(\dfrac{7-1}{3\cdot1}=2\). Antwort: E.
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9
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(4\sin^2\alpha\), wenn \(4\cos^2\alpha=1\).
Lösung
Aus \(4\cos^2\alpha=1\) folgt \(\cos^2\alpha=\dfrac14\). Daher \(\sin^2\alpha=\dfrac34\) und \(4\sin^2\alpha=3\). Antwort: D.
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10
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Bestimmen Sie die kleinste positive Periode der Funktion \(y=\dfrac12\tan(4x)\).
Lösung
Für \(\tan(kx)\) gilt \(T=\dfrac\pi{|k|}\). Bei \(k=4\) ist \(T=\dfrac\pi4\). Der Faktor \(\dfrac12\) ändert die Periode nicht. Antwort: A.
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11
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(\arccos\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\).
Lösung
Der Hauptwert von \(\arccos x\) liegt in \([0;\pi]\). Da \(\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}\), gilt \(\arccos\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\). Antwort: E.
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12
Aufgabe
Numerische Antwort
Bestimmen Sie den Wert von \(\tan^2\alpha+\cot^2\alpha\), wenn \(\tan\alpha-\cot\alpha=4\).
Lösung
Quadrieren: \((\tan\alpha-\cot\alpha)^2=16\). Also \(\tan^2\alpha+\cot^2\alpha-2\tan\alpha\cot\alpha=16\). Da \(\tan\alpha\cot\alpha=1\), folgt \(\tan^2\alpha+\cot^2\alpha=18\).
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13
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Ordnen Sie die Zahlen aufsteigend: \(a=\tan36^\circ\), \(b=\tan93^\circ\), \(c=\tan180^\circ\).
Lösung
\(a=\tan36^\circ>0\). Außerdem \(b=\tan93^\circ=\tan(90^\circ+3^\circ)=-\cot3^\circ<0\) und \(c=\tan180^\circ=0\). Daher \(b
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14
Aufgabe
Numerische Antwort
Bestimmen Sie \(\tan\alpha+\cot\alpha\) für \(\alpha=15^\circ\).
Lösung
\(\tan\alpha+\cot\alpha=\dfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=\dfrac{2}{\sin2\alpha}\). Für \(\alpha=15^\circ\): \(2/\sin30^\circ=4\).
Formen
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15
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Es gilt \(\cot\alpha\lt0\) und \(\cos\alpha\gt0\). Welchen Wert kann \(\sin\alpha\) annehmen?
Lösung
Da \(\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\lt0\) und \(\cos\alpha\gt0\), muss \(\sin\alpha\lt0\) sein. \(\sin\alpha=-1\) ist bei \(\cos\alpha\gt0\) unmöglich. Daher passt nur \(-\dfrac12\). Antwort: B.
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16
Aufgabe
Zuordnung
Ordnen Sie jedem Ausdruck (1–4) den identisch gleichen Ausdruck (A–E) zu.
А
\(\cos^2\alpha\) Б
\(\cos2\alpha\) В
\(\sin2\alpha\) Г
\(-\cos2\alpha\) Д
\(\sin^2\alpha\)
Lösung
1) \(1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\) — E. 2) \(2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha\) — C. 3) \(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos2\alpha\) — B. 4) \(\cos^4\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\cos^2\alpha\) — A. Zuordnung: 1–E, 2–C, 3–B, 4–A.
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17
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie \((1-\cos^2\alpha)\cot^2\alpha\).
Lösung
\(1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\) und \(\cot^2\alpha=\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\). Daher ist der Ausdruck \(\cos^2\alpha\). Antwort: A.
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18
Aufgabe
Numerische Antwort
Berechnen Sie \(2\sin\alpha\cos\alpha\), wenn \(\sin\alpha+\cos\alpha=1{,}2\).
Lösung
Quadrieren: \((\sin\alpha+\cos\alpha)^2=1{,}44\). Mit \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) folgt \(1+2\sin\alpha\cos\alpha=1{,}44\), also \(2\sin\alpha\cos\alpha=0{,}44\).
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19
Aufgabe
Numerische Antwort
Berechnen Sie \(\cos\alpha\), wenn \(\sin\alpha=0{,}8\) und \(\dfrac{\pi}{2}\lt\alpha\lt\pi\).
Lösung
Aus \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) folgt \(\cos^2\alpha=1-0{,}8^2=0{,}36\), also \(\cos\alpha=\pm0{,}6\). Im II. Quadranten ist der Kosinus negativ, daher \(\cos\alpha=-0{,}6\).
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20
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie \(\dfrac{1}{1+\tan^2\alpha}\).
Lösung
Mit \(1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\) erhält man \(\dfrac{1}{1+\tan^2\alpha}=\cos^2\alpha\). Antwort: A.
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21
Aufgabe
Eine richtige Antwort
In welchem Intervall liegt der Wert von \(\sin 415^\circ\)?
Lösung
\(415^\circ=360^\circ+55^\circ\), also \(\sin415^\circ=\sin55^\circ\). Im I. Quadranten wächst der Sinus und \(45^\circ<55^\circ<60^\circ\). Daher \(\dfrac{\sqrt2}{2}<\sin55^\circ<\dfrac{\sqrt3}{2}\). Antwort: D.
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22
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(\tan\alpha\), wenn \(4\sin\alpha-\cos\alpha=2\cos\alpha-\sin\alpha\).
Lösung
Umstellen ergibt \(5\sin\alpha=3\cos\alpha\). Da \(\cos\alpha=0\) die Gleichung nicht erfüllt, dürfen wir durch \(\cos\alpha\) teilen: \(5\tan\alpha=3\). Somit \(\tan\alpha=\dfrac35\). Antwort: A.
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23
Aufgabe
Numerische Antwort
Berechnen Sie \(\dfrac{\sin(-30^\circ)\cos(-60^\circ)+\tan(-45^\circ)}{\cot(-60^\circ)\cos(-30^\circ)-\sin(-60^\circ)\tan(-30^\circ)}\).
Lösung
Mit \(\sin(-x)=-\sin x\), \(\cos(-x)=\cos x\), \(\tan(-x)=-\tan x\) und \(\cot(-x)=-\cot x\) ist der Zähler \((-\tfrac12)(\tfrac12)-1=-\tfrac54\) und der Nenner \((-\tfrac1{\sqrt3})(\tfrac{\sqrt3}{2})-(-\tfrac{\sqrt3}{2})(-\tfrac1{\sqrt3})=-1\). Daher ist der Wert \(\dfrac54=1{,}25\).
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24
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(\dfrac{2\cot\alpha}{\tan\alpha}\), wenn \(\tan\alpha=\dfrac15\).
Lösung
Da \(\cot\alpha=\dfrac1{\tan\alpha}=5\), gilt \(\dfrac{2\cot\alpha}{\tan\alpha}=\dfrac{2\cdot5}{1/5}=50\). Antwort: A.
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25
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie \(1-\sin^2\alpha-\cos^2\alpha\).
Lösung
Nach der Grundidentität \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\). Daher \(1-\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=0\). Antwort: B.
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26
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Wenn \(2\sin\alpha=\cos\alpha\), dann ist \(\tan\alpha=\ldots\)
Lösung
Aus \(2\sin\alpha=\cos\alpha\) folgt \(\cos\alpha\ne0\). Durch \(\cos\alpha\) teilen: \(2\tan\alpha=1\), also \(\tan\alpha=\dfrac12=0{,}5\). Antwort: D.
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27
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Geben Sie die richtige Ungleichung an, wenn \(a=\sin120^\circ\) und \(b=\cos120^\circ\).
Lösung
\(120^\circ\) liegt im II. Quadranten. Daher \(a=\sin120^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}>0\) und \(b=\cos120^\circ=-\dfrac12<0\). Somit \(b\lt0\lt a\). Antwort: E.
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28
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(\cos^4\dfrac{\pi}{12}-\sin^4\dfrac{\pi}{12}\).
Lösung
Mit der Differenz der Quadrate: \(\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)=\cos2x\). Für \(x=\dfrac{\pi}{12}\) ergibt sich \(\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}\). Antwort: B.
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29
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Geben Sie die kleinste positive Periode der Funktion \(y=2\cot(3x)\) an.
Lösung
\(\cot x\) hat die Periode \(\pi\). Für \(\cot(kx)\) ist die kleinste positive Periode \(T=\dfrac{\pi}{|k|}\). Bei \(k=3\) gilt \(T=\dfrac{\pi}{3}\). Der Faktor 2 ändert die Periode nicht. Antwort: C.
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30
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(\sqrt{(2\sin45^\circ+1)^2}-\sqrt{(1-2\cos45^\circ)^2}\).
Lösung
Da \(\sqrt{u^2}=|u|\) und \(\sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}{2}\), erhalten wir \(|\sqrt2+1|-|1-\sqrt2|\). Weil \(1-\sqrt2<0\), ist dies \(\sqrt2+1-(\sqrt2-1)=2\). Antwort: E.
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31
Aufgabe
Numerische Antwort
Berechnen Sie \(2\sin15^\circ\cos15^\circ\tan30^\circ\cot30^\circ\).
Lösung
Da \(2\sin15^\circ\cos15^\circ=\sin30^\circ=\dfrac12\) und \(\tan30^\circ\cot30^\circ=1\), ergibt sich \(\dfrac12\cdot1=\dfrac12=0{,}5\).
Formen
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32
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie \(1-\sin\alpha\cdot\cot\alpha\cdot\cos\alpha\).
Lösung
Mit \(\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) gilt \(1-\sin\alpha\cdot\cot\alpha\cdot\cos\alpha=1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\). Antwort: E.
Formen
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33
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie \(\dfrac{\cos(90^\circ+\alpha)}{\sin\alpha}\).
Lösung
Nach der Reduktionsformel ist \(\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha\). Daher \(\dfrac{-\sin\alpha}{\sin\alpha}=-1\). Antwort: A.
Formen
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34
Aufgabe
Eine richtige Antwort
In welchem Intervall liegt der Wert von \(\sin\dfrac{7\pi}{6}-1\)?
Lösung
\(\sin\dfrac{7\pi}{6}=\sin(\pi+\dfrac{\pi}{6})=-\sin\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac12\). Also ist der Wert \(-\dfrac32\), und \(-\dfrac32\in[-2;-1)\). Antwort: B.
Formen
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35
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie \((1-\sin^2\alpha)\tan^2\alpha\).
Lösung
\(1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\) und \(\tan^2\alpha=\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\). Daher ist der Ausdruck \(\sin^2\alpha\). Antwort: D.
Formen
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36
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie \(2\sin^2\alpha\cdot\cot\alpha\).
Lösung
\(2\sin^2\alpha\cdot\cot\alpha=2\sin^2\alpha\cdot\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha\). Antwort: E.
Formen
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37
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Berechnen Sie \(\cos210^\circ\).
Lösung
\(210^\circ=180^\circ+30^\circ\), daher \(\cos210^\circ=-\cos30^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{2}\). Antwort: D.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
38
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Wenn \(2\cos\alpha-5\sin\alpha=0\), dann ist \(\tan\alpha=\ldots\)
Lösung
Aus \(2\cos\alpha=5\sin\alpha\). Da \(\cos\alpha
e0\), teilen wir durch \(5\cos\alpha\): \(\tan\alpha=\dfrac25\). Antwort: A.
Formen
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39
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie \((1+\tan^2\alpha)\sin^2\alpha\).
Lösung
Nach \(1+\tan^2\alpha=\dfrac1{\cos^2\alpha}\) gilt \((1+\tan^2\alpha)\sin^2\alpha=\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\tan^2\alpha\). Antwort: E.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
40
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie \(\dfrac{\cos\alpha\cdot\tan\alpha}{\sin^2\alpha}\).
Lösung
Mit \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) folgt \(\dfrac{\cos\alpha\cdot\tan\alpha}{\sin^2\alpha}=\dfrac{\sin\alpha}{\sin^2\alpha}=\dfrac1{\sin\alpha}\). Antwort: C.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
