Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
2
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчисліть \(\log_2\dfrac18+\log_5 25\).
Розв’язання
\(\log_2\dfrac18=\log_2 2^{-3}=-3\), а \(\log_5 25=\log_5 5^2=2\). Отже, \(-3+2=-1\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
3
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчисліть \(\log_3 18-\log_3 2\).
Розв’язання
За властивістю логарифмів \(\log_3 18-\log_3 2=\log_3\dfrac{18}{2}=\log_3 9=2\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
4
Завдання
Числова відповідь
Обчисліть \(\log_a 500-\log_a 4\), якщо \(\log_5 a=\dfrac14\).
Розв’язання
\(\log_a500-\log_a4=\log_a\dfrac{500}{4}=\log_a125=\log_a5^3=3\log_a5\). За формулою переходу до нової основи \(\log_a5=\dfrac1{\log_5a}=4\). Тому значення виразу дорівнює \(3\cdot4=12\). Відповідь: \(12\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
5
Завдання
Числова відповідь
Знайдіть значення виразу \(6^{2\log_6 9-\log_6 4}\).
Розв’язання
\(2\log_6 9=\log_6 9^2=\log_6 81\). Тоді показник дорівнює \(\log_6\dfrac{81}{4}\), тому \(6^{\log_6(81/4)}=\dfrac{81}{4}=20{,}25\). Відповідь: \(20{,}25\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
6
Завдання
Числова відповідь
Обчисліть \(\log_b a\), якщо \(\log_3 a=8\), \(\log_3 b=5\).
Розв’язання
За формулою переходу до нової основи \(\log_b a=\dfrac{\log_3 a}{\log_3 b}=\dfrac85=1{,}6\). Відповідь: \(1{,}6\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
7
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчисліть \(\log_8 16\).
Розв’язання
\(8=2^3\), \(16=2^4\), тому \(\log_8 16=\log_{2^3}2^4=\dfrac43\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
8
Завдання
Одна правильна відповідь
Якщо \(\lg b=6\), то \(\lg(10b^2)=\)
Розв’язання
\(\lg(10b^2)=\lg10+\lg b^2=1+2\lg b=1+2\cdot6=13\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
9
Завдання
Числова відповідь
Обчисліть \(\log_{32}8-3^{\frac{2}{\log_7 3}}\).
Розв’язання
\(\log_{32}8=\log_{2^5}2^3=\dfrac35\). Крім того, \(\dfrac1{\log_7 3}=\log_3 7\), тому \(3^{\frac{2}{\log_7 3}}=3^{2\log_3 7}=3^{\log_3 49}=49\). Отже, \(\dfrac35-49=0{,}6-49=-48{,}4\). Відповідь: \(-48{,}4\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
10
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчисліть суму \(3^x+3^{-x}\), якщо \(9^x+9^{-x}=47\).
Розв’язання
Позначимо \(t=3^x+3^{-x}\). Тоді \(t^2=9^x+2+9^{-x}=47+2=49\). Оскільки \(3^x>0\) і \(3^{-x}>0\), маємо \(t>0\), отже \(t=7\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
11
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчисліть \(36^{\log_6 5}\).
Розв’язання
Оскільки \(36=6^2\), маємо \(36^{\log_6 5}=(6^2)^{\log_6 5}=6^{2\log_6 5}=(6^{\log_6 5})^2=5^2=25\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
12
Завдання
Установлення відповідності
До кожного початку речення (1–4), де \(a>0\), \(b>0\), доберіть його закінчення (А–Д), щоб утворилося правильне твердження.
А
\(a=2b\) Б
\(a=2+b\) В
\(a=4b\) Г
\(a=b^2\) Д
\(a=4+b\)
Розв’язання
1) \(2\log_2 b=\log_2 b^2\), тому \(a=b^2\) — Г. 2) \(a^3=8b^3=(2b)^3\), звідси \(a=2b\) — А. 3) Після піднесення до квадрата: \(a=4b\) — В. 4) \(4\cdot2^b=2^{b+2}\), тому \(a=b+2\) — Б. Відповідь: 1–Г, 2–А, 3–В, 4–Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
13
Завдання
Установлення відповідності
Додатні числа \(x\) і \(y\) задовольняють умову \(\dfrac{x}{y}=\dfrac14\). Установіть відповідність між виразом (1–2) та його значенням (А–Д).
А
\(-2\) Б
\(1{,}25\) В
\(0{,}25\) Г
\(2\) Д
\(4\)
Розв’язання
1) \(\dfrac{x+y}{y}=\dfrac{x}{y}+1=\dfrac14+1=\dfrac54=1{,}25\) — Б. 2) \(\log_2x-\log_2y=\log_2\dfrac{x}{y}=\log_2\dfrac14=\log_2 2^{-2}=-2\) — А. Відповідь: 1–Б, 2–А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
14
Завдання
Одна правильна відповідь
Укажіть проміжок, якому належить число \(\log_5 4\).
Розв’язання
Оскільки \(1<4<5\) і основа \(5>1\), то \(\log_5 1<\log_5 4<\log_5 5\), тобто \(0<\log_5 4<1\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
15
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчисліть \(\log_{5^{-2}}5^{\frac12}\).
Розв’язання
Для однакової основи \(5\): \(\log_{5^{-2}}5^{1/2}=\dfrac{1/2}{-2}=-\dfrac14=-0{,}25\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
16
Завдання
Одна правильна відповідь
Якщо \(2^a=\dfrac15\), то \(2^{6-a}=\)
Розв’язання
\(2^{6-a}=\dfrac{2^6}{2^a}=\dfrac{64}{1/5}=64\cdot5=320\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
17
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчисліть \(\log_2 5+\log_2 1{,}6\).
Розв’язання
За формулою суми логарифмів \(\log_2 5+\log_2 1{,}6=\log_2(5\cdot1{,}6)=\log_2 8=3\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
18
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчисліть \(\log_3 54-\log_3 2\).
Розв’язання
\(\log_3 54-\log_3 2=\log_3\dfrac{54}{2}=\log_3 27=3\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
19
Завдання
Одна правильна відповідь
Укажіть проміжок, якому належить число \(\log_2 9\).
Розв’язання
Оскільки \(8<9<16\), а \(8=2^3\), \(16=2^4\), то \(3<\log_2 9<4\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
20
Завдання
Одна правильна відповідь
Якщо \(\log_4 3=a\), то \(\log_{16}9=\)
Розв’язання
\(\log_{16}9=\dfrac{\ln9}{\ln16}=\dfrac{2\ln3}{2\ln4}=\dfrac{\ln3}{\ln4}=\log_4 3=a\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
21
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчисліть \(\log_a\sqrt{ab}\), якщо \(\log_a b=7\).
Розв’язання
\(\log_a\sqrt{ab}=\log_a(ab)^{1/2}=\dfrac12(\log_a a+\log_a b)=\dfrac12(1+7)=4\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
22
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчисліть \(\log_{\frac1{25}}\sqrt5\).
Розв’язання
\(\dfrac1{25}=5^{-2}\), \(\sqrt5=5^{1/2}\). Нехай \(\log_{5^{-2}}5^{1/2}=x\). Тоді \(5^{-2x}=5^{1/2}\), звідси \(-2x=\dfrac12\) і \(x=-\dfrac14\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
За формулою переходу до нової основи добуток телескопується: \(\log_3 4\cdot\log_4 5\cdot\log_5 7\cdot\log_7 81=\log_3 81=4\). Відповідь: \(4\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
24
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчисліть значення виразу \(\log_3 45+\log_3 900-\log_3 500\).
Розв’язання
\(\log_3 45+\log_3 900-\log_3 500=\log_3\dfrac{45\cdot900}{500}=\log_3 81=4\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
25
Завдання
Одна правильна відповідь
Якому з наведених проміжків належить число \(\log_2\dfrac13\)?
Розв’язання
Оскільки \(\dfrac14<\dfrac13<\dfrac12\), а функція \(y=\log_2x\) зростає, то \(\log_2\dfrac14<\log_2\dfrac13<\log_2\dfrac12\), тобто \(-2<\log_2\dfrac13<-1\). Отже, число належить проміжку \((-3;-1)\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
26
Завдання
Числова відповідь
Обчисліть значення виразу \(\dfrac{\log_5 27}{\log_5 2-\log_5 162}\).
Розв’язання
\(\log_5 27=\log_5 3^3=3\log_5 3\), а \(\log_5 2-\log_5 162=\log_5\dfrac{2}{162}=\log_5\dfrac1{81}=\log_5 3^{-4}=-4\log_5 3\). Тому значення виразу дорівнює \(-\dfrac34=-0{,}75\). Відповідь: \(-0{,}75\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
27
Завдання
Установлення відповідності
Установіть відповідність між виразом (1–3) та тотожно рівним йому виразом (А–Д), якщо \(a\) — довільне від'ємне число.
А
\(0\) Б
\(2a\) В
\(a^2\) Г
\(1\) Д
\(-2a\)
Розв’язання
1) Для \(a\ne0\): \(a^0=1\) — Г. 2) Оскільки \(a<0\), то \(|a|=-a\), тому \(|a|+a=0\) — А. 3) \(\log_2 2^a=a\), отже \(a\log_2 2^a=a^2\) — В. Відповідь: 1–Г, 2–А, 3–В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
28
Завдання
Установлення відповідності
Установіть відповідність між виразом (1–3) і тотожно рівним йому виразом (А–Д), якщо \(a\) — довільне додатне число, \(a\ne1\).
А
\(a^2\) Б
\(a^7\) В
\(\dfrac1a\) Г
\(a\) Д
\(-a\)
Розв’язання
1) \(a^4:a^3=a\) — Г. 2) \(\dfrac{a^2-a}{1-a}=\dfrac{a(a-1)}{-(a-1)}=-a\) — Д. 3) \(7^{-\log_7 a}=7^{\log_7 a^{-1}}=\dfrac1a\) — В. Відповідь: 1–Г, 2–Д, 3–В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
29
Завдання
Установлення відповідності
Установіть відповідність між виразом (1–3) і проміжком (А–Д), якому належить значення цього виразу, якщо \(a=4{,}5\).
А
\((-2;0)\) Б
\((0;1)\) В
\((1;2)\) Г
\((2;3)\) Д
\((3;5)\)
Розв’язання
1) \(4{,}5-2{,}7=1{,}8\in(1;2)\) — В. 2) \(\sqrt[3]{3{,}5-4{,}5}=\sqrt[3]{-1}=-1\in(-2;0)\) — А. 3) Оскільки \(1<4{,}5<5\), то \(0<\log_5 4{,}5<1\) — Б. Відповідь: 1–В, 2–А, 3–Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
30
Завдання
Установлення відповідності
Установіть відповідність між виразом (1–3) і твердженням про його значення (А–Д), яке є правильним, якщо \(a=-2\dfrac13\).
А
більше від \(5\) Б
належить проміжку \((0;1)\) В
є від'ємним числом Г
належить проміжку \([1;5)\) Д
дорівнює \(0\)
Розв’язання
\(a=-2\dfrac13=-\dfrac73\). 1) \(a^2=\dfrac{49}{9}=5\dfrac49>5\) — А. 2) Оскільки \(a<0\), то \(|a|=-a\), тому \(a+|a|=0\) — Д. 3) \(\log_5 5^a=a=-\dfrac73<0\) — В. Відповідь: 1–А, 2–Д, 3–В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
31
Завдання
Одна правильна відповідь
Укажіть правильну подвійну нерівність, якщо \(a=0{,}5^{-1}\), \(b=0{,}2\), \(c=\log_{0{,}2}5\).
Розв’язання
\(a=0{,}5^{-1}=2\), \(b=0{,}2\). Оскільки \(0{,}2=\dfrac15\), то \(c=\log_{1/5}5=-1\). Маємо \(-1\lt0{,}2\lt2\), тобто \(c\lt b\lt a\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
32
Завдання
Числова відповідь
Обчисліть \(400^{1-\log_{20}4}\).
Розв’язання
Оскільки \(400=20^2\), маємо \(400^{1-\log_{20}4}=20^{2-2\log_{20}4}=\dfrac{20^2}{(20^{\log_{20}4})^2}=\dfrac{400}{16}=25\). Відповідь: \(25\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
33
Завдання
Одна правильна відповідь
У якому рядку числа \(\log_2 64\), \(\log_{64}2\), \(11\) розташовано за зростанням?
Розв’язання
\(\log_2 64=6\), а \(\log_{64}2=\dfrac16\). Тому \(\dfrac16<6<11\). Отже, правильний порядок: \(\log_{64}2,\ \log_2 64,\ 11\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
34
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчисліть \(\log_5 49+2\log_5\dfrac57\).
Розв’язання
\(\log_5 49+2\log_5\dfrac57=\log_5 49+\log_5\left(\dfrac57\right)^2=\log_5\left(49\cdot\dfrac{25}{49}\right)=\log_5 25=2\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
\(\left(\left(\dfrac13\right)^{\sqrt{18}}\right)^{1/\sqrt2}=\left(\dfrac13\right)^{\sqrt{18}/\sqrt2}=\left(\dfrac13\right)^{\sqrt9}=\left(\dfrac13\right)^3=\dfrac1{27}\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
36
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчисліть \(2^{\log_4 9+\log_2 8}\).
Розв’язання
\(\log_4 9=\dfrac{\log_2 9}{\log_2 4}=\dfrac12\log_2 9=\log_2 3\), а \(\log_2 8=3\). Тому показник дорівнює \(\log_2 3+3=\log_2 24\), і \(2^{\log_2 24}=24\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
37
Завдання
Одна правильна відповідь
Знайдіть значення виразу \(\log_{20}5+\log_{20}4+2\).
Розв’язання
\(\log_{20}5+\log_{20}4=\log_{20}(5\cdot4)=\log_{20}20=1\). Отже, \(1+2=3\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
Використаємо \(\dfrac1{\log_{\sqrt3}2}=\log_2\sqrt3\). Тоді показник дорівнює \(\log_2 9-2\log_2\sqrt3=\log_2 9-\log_2 3=\log_2 3\). Отже, \(4^{\log_2 3}=(2^2)^{\log_2 3}=2^{\log_2 9}=9\). Відповідь: \(9\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
\(\log_{\sqrt3}\sqrt[6]{3}=\dfrac{1/6}{1/2}=\dfrac13\), тому перший доданок дорівнює \(27^{1/3}=3\). Далі \(5^{(\log_5 2)^2}=\left(5^{\log_5 2}\right)^{\log_5 2}=2^{\log_5 2}\), а \(\log_2 16=4\). Отже, другий і третій доданки взаємно знищуються: \(4\cdot2^{\log_5 2}-4\cdot2^{\log_5 2}=0\). Значення виразу дорівнює \(3\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
За властивістю взаємно обернених логарифмів \(\dfrac1{\log_{12}18}=\log_{18}12\), \(\dfrac1{\log_{27}18}=\log_{18}27\). Тому сума дорівнює \(\log_{18}(12\cdot27)=\log_{18}324=\log_{18}18^2=2\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
