Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks \(\dfrac{a^2-b^2}{a-b}-\dfrac{a^3-b^3}{a^2-b^2}\) für \(a=10{,}2\), \(b=-0{,}2\).
Lösung
\(\dfrac{a^2-b^2}{a-b}=a+b\) und \(\dfrac{a^3-b^3}{a^2-b^2}=\dfrac{a^2+ab+b^2}{a+b}\). Für \(a=10{,}2\), \(b=-0{,}2\) gilt \(a+b=10\) und \(a^2+ab+b^2=102{,}04\). Daher \(10-102{,}04/10=-0{,}204\). Antwort: \(-0{,}204\).
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Raster
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2
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Bestimmen Sie den Wert von \(\dfrac1b-\dfrac1a\), wenn \(\dfrac{\sqrt3a-\sqrt3b}{ab}=\sqrt{12}\).
Lösung
\(\dfrac{\sqrt3a-\sqrt3b}{ab}=\sqrt3\left(\dfrac1b-\dfrac1a\right)\). Da \(\sqrt{12}=2\sqrt3\), folgt \(\dfrac1b-\dfrac1a=2\). Antwort: C.
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3
Aufgabe
Zuordnung
Ordnen Sie den Ausdrücken (1–4) ihre Werte für \(x=0{,}5\) zu (A–E).
А
\(-2{,}5\) Б
\(-0{,}25\) В
\(0{,}25\) Г
\(1{,}5\) Д
\(2{,}5\)
Lösung
1) \(x-3=-2{,}5\) — A. 2) Der zweite Ausdruck ist \(0{,}25\) — C. 3) \(x+1=1{,}5\) — D. 4) \(\dfrac3{8(x-2)}=-0{,}25\) — B. Zuordnung: 1–A, 2–C, 3–D, 4–B.
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4
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie \(\dfrac{b^2\cdot b^{10}}{b^4}\), wobei \(b\ne0\).
Lösung
Nach den Potenzgesetzen: \(\dfrac{b^2b^{10}}{b^4}=b^{2+10-4}=b^8\). Antwort: B.
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5
Aufgabe
Numerische Antwort
Bestimmen Sie den Wert des Ausdrucks für \(m=4{,}25\): \[\dfrac{m+4}{m^2-6m+9}\cdot\dfrac{2m-6}{m^2-16}-\dfrac2{m-4}.\]
Lösung
Faktorisieren: \(m^2-6m+9=(m-3)^2\), \(m^2-16=(m-4)(m+4)\), \(2m-6=2(m-3)\). Damit wird der Ausdruck zu \(-\dfrac2{m-3}\). Für \(m=4{,}25\): \(-2/1{,}25=-1{,}6\). Antwort: -1,6.
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6
Aufgabe
Zuordnung
Ordnen Sie jedem Ausdruck (1–4) einen identisch gleichen Ausdruck (A–E) zu, wenn \(a\ne0\), \(a\ne1\), \(a\ne-1\).
А
\(a-1\) Б
\(-a-1\) В
\(-\dfrac1{a+1}\) Г
\(-\dfrac1{a-1}\) Д
\(a+1\)
Lösung
1) \(a-1\) — A. 2) \(-a-1\) — B. 3) \(-1/(a+1)\) — C. 4) \(-1/(a-1)\) — D. Zuordnung: 1–A, 2–B, 3–C, 4–D.
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7
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie \(\dfrac{9-x^2}{x^2+6x+9}\).
Lösung
\(9-x^2=(3-x)(x+3)\) und \(x^2+6x+9=(x+3)^2\). Daher \(\dfrac{3-x}{x+3}\). Antwort: A.
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8
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie \(\dfrac{3x^2y}{9xy^3}\).
Lösung
Kürzen: \(\dfrac{3x^2y}{9xy^3}=\dfrac{x}{3y^2}\). Antwort: E.
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9
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie \(\dfrac{a^2-1}{1-\frac1a}\).
Lösung
\(1-1/a=(a-1)/a\) und \(a^2-1=(a-1)(a+1)\). Daher ergibt sich \(a(a+1)\). Antwort: E.
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10
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie \(\dfrac{3x+12}{x^2-16}\).
Lösung
\(3x+12=3(x+4)\) und \(x^2-16=(x-4)(x+4)\). Nach dem Kürzen bleibt \(\dfrac3{x-4}\). Antwort: C.
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11
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Wenn \(a=1-\dfrac{b}{c}\), dann ist \(b=\)
Lösung
Aus \(a=1-\dfrac{b}{c}\) folgt \(\dfrac{b}{c}=1-a\). Multiplikation mit \(c\) ergibt \(b=c(1-a)\). Antwort: A.
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12
Aufgabe
Numerische Antwort
Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks \(\dfrac{10a+b}{b^2-4a^2}+\dfrac{4a+2b}{b^2+4ab+4a^2}\) für \(a=0{,}25\), \(b=4{,}5\).
Lösung
Die Nenner zerfallen als \(b^2-4a^2=(b-2a)(b+2a)\) und \(b^2+4ab+4a^2=(b+2a)^2\). Außerdem ist \(4a+2b=2(b+2a)\). Daher vereinfacht sich der Ausdruck zu \(\dfrac{3}{b-2a}\). Für \(a=0{,}25\), \(b=4{,}5\): \(\dfrac{3}{4{,}5-0{,}5}=\dfrac34=0{,}75\). Antwort: 0,75.
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13
Aufgabe
Numerische Antwort
Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks \(\dfrac{a^2-6ab+9b^2}{a^2+4ab}:\dfrac{5a-15b}{a+4b}\) für \(a=0{,}1\), \(b=3{,}7\).
Lösung
Es gilt \(a^2-6ab+9b^2=(a-3b)^2\), \(a^2+4ab=a(a+4b)\) und \(5a-15b=5(a-3b)\). Damit wird der Ausdruck zu \(\dfrac{a-3b}{5a}\). Für \(a=0{,}1\), \(b=3{,}7\): \(\dfrac{0{,}1-11{,}1}{0{,}5}=-22\). Antwort: -22.
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14
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie den Ausdruck \(\dfrac{a}{b(a-b)}-\dfrac{b}{a(a-b)}\).
Lösung
Mit dem gemeinsamen Nenner \(ab(a-b)\) erhalten wir \(\dfrac{a^2-b^2}{ab(a-b)}=\dfrac{(a-b)(a+b)}{ab(a-b)}=\dfrac{a+b}{ab}\). Antwort: A.
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15
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie den Ausdruck \(\dfrac1{x-5}-\dfrac{2x-5}{x(x-5)}\).
Lösung
Auf gemeinsamen Nenner gebracht: \(\dfrac{x-(2x-5)}{x(x-5)}=\dfrac{5-x}{x(x-5)}=-\dfrac1x\). Antwort: A.
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16
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie den Ausdruck \(\dfrac{a^2+16}{a-4}-\dfrac{8a}{a-4}\).
Lösung
Die Brüche haben denselben Nenner: \(\dfrac{a^2+16-8a}{a-4}=\dfrac{(a-4)^2}{a-4}=a-4\). Antwort: B.
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17
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Kürzen Sie den Bruch \(\dfrac{10ab^3}{5a^2b}\).
Lösung
Wir kürzen Koeffizienten und Potenzen: \(10/5=2\), \(a/a^2=1/a\), \(b^3/b=b^2\). Daher \(\dfrac{10ab^3}{5a^2b}=\dfrac{2b^2}{a}\). Antwort: A.
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18
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie den Ausdruck \(\dfrac{(a-b)^2-b^2}{a}\).
Lösung
Ausmultiplizieren ergibt \((a-b)^2-b^2=a^2-2ab=a(a-2b)\). Nach Division durch \(a\) bleibt \(a-2b\). Antwort: B.
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19
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie den Ausdruck \(\dfrac{a^{24}}{(a^4)^2}\).
Lösung
\((a^4)^2=a^8\), daher \(\dfrac{a^{24}}{a^8}=a^{24-8}=a^{16}\). Antwort: E.
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20
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Kürzen Sie den Bruch \(\dfrac{a^2-b^2}{a^2-ab}\).
Lösung
Faktorisieren: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) und \(a^2-ab=a(a-b)\). Nach Kürzen von \(a-b\) bleibt \(\dfrac{a+b}{a}\). Antwort: A.
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21
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie den Ausdruck \(\dfrac{(2x^2)^3}{4x^9}\).
Lösung
\((2x^2)^3=8x^6\). Daher \(\dfrac{8x^6}{4x^9}=2x^{-3}=\dfrac{2}{x^3}\), wobei \(x\ne0\). Antwort: A.
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22
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Addieren Sie die Brüche: \(\dfrac{a-2}{2a}+\dfrac{a-2}{a^2}\).
Lösung
Mit dem gemeinsamen Nenner \(2a^2\): \(\dfrac{a(a-2)+2(a-2)}{2a^2}=\dfrac{(a-2)(a+2)}{2a^2}=\dfrac{a^2-4}{2a^2}\), \(a\ne0\). Antwort: C.
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23
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Multiplizieren Sie die Brüche: \(\dfrac{p+2}{2m-4}\cdot\dfrac{m-2}{p^2-4}\).
Lösung
Faktorisieren: \(2m-4=2(m-2)\), \(p^2-4=(p-2)(p+2)\). Nach dem Kürzen bleibt \(\dfrac1{2(p-2)}=\dfrac1{2p-4}\). Antwort: B.
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24
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Schreiben Sie als einen Bruch: \(\dfrac{2x+1}{x-3}-\dfrac{x-2}{3-x}\).
Lösung
Da \(3-x=-(x-3)\), gilt \(-\dfrac{x-2}{3-x}=+\dfrac{x-2}{x-3}\). Somit \(\dfrac{2x+1+x-2}{x-3}=\dfrac{3x-1}{x-3}\), \(x\ne3\). Antwort: D.
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25
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Führen Sie die Division aus: \(\dfrac{12ab}{5}:(4a^2)\).
Lösung
Division durch \(4a^2\) entspricht Multiplikation mit \(\dfrac1{4a^2}\): \(\dfrac{12ab}{5}\cdot\dfrac1{4a^2}=\dfrac{3b}{5a}\). Antwort: B.
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26
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie den Ausdruck \(\dfrac{(3mn)^4}{m^2n}\).
Lösung
\((3mn)^4=81m^4n^4\). Durch \(m^2n\) geteilt ergibt das \(81m^{4-2}n^{4-1}=81m^2n^3\). Antwort: D.
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27
Aufgabe
Zuordnung
Ordnen Sie jedem Ausdruck (1–4) seinen Wert für \(x=-2{,}5\) zu (A–E).
А
\(-5{,}5\) Б
\(-4{,}5\) В
\(-0{,}5\) Г
\(0{,}5\) Д
\(4{,}5\)
Lösung
1) Der erste Ausdruck ist \(-1/2=-0{,}5\) — C. 2) \(x-3=-5{,}5\) — A. 3) \(x+3=0{,}5\) — D. 4) \(x-2=-4{,}5\) — B. Zuordnung: 1–C, 2–A, 3–D, 4–B.
Formen
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28
Aufgabe
Numerische Antwort
Bestimmen Sie den Wert von \(\dfrac{2ab+a^2+b^2}{a^2+b^2-2ab}\) für \(a=13{,}4\), \(b=12{,}4\).
Lösung
Zähler: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\), Nenner: \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\). Daher \(\dfrac{25{,}8^2}{1^2}=665{,}64\). Antwort: \(665{,}64\).
Formen
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29
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie den Ausdruck \(\dfrac{(a^2-1)(a+1)}{a^2+2a+1}\).
Lösung
\(a^2-1=(a-1)(a+1)\) und \(a^2+2a+1=(a+1)^2\). Für \(a\ne-1\) folgt \(\dfrac{(a-1)(a+1)^2}{(a+1)^2}=a-1\). Antwort: C.
Formen
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30
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie den Ausdruck \(\dfrac{25-x^2}{x^2+5x}\).
Lösung
Zähler und Nenner faktorisieren: \(25-x^2=(5-x)(5+x)\), \(x^2+5x=x(x+5)\). Für \(x\ne0,-5\) gilt daher \(\dfrac{(5-x)(5+x)}{x(x+5)}=\dfrac{5-x}{x}\). Antwort: E.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
31
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie den Ausdruck \(\dfrac{4x^2-25}{(2x-5)^2}\).
Lösung
\(4x^2-25=(2x-5)(2x+5)\). Für \(x\ne\dfrac52\): \(\dfrac{(2x-5)(2x+5)}{(2x-5)^2}=\dfrac{2x+5}{2x-5}\). Antwort: A.
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32
Aufgabe
Zuordnung
Ordnen Sie jedem Ausdruck (1–4) den identisch gleichen Ausdruck (A–E) zu, wobei \(a\ne0\), \(a\ne1\), \(a\ne-1\).
А
\(a-1\) Б
\(-a-1\) В
\(-\dfrac1{a+1}\) Г
\(-\dfrac1{a-1}\) Д
\(a+1\)
Lösung
1) \(\dfrac{a}{a+1}\cdot\dfrac{a^2-1}{a}=a-1\) — A. 2) \(a^2+\dfrac{a^3-1}{1-a}=-a-1\) — B. 3) \(\dfrac{1-a}{a}:\dfrac{a^2-1}{a}=-\dfrac1{a+1}\) — C. 4) \(\dfrac{a-2}{a-1}-1=-\dfrac1{a-1}\) — D. Zuordnung: 1–A, 2–B, 3–C, 4–D.
Formen
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33
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie den Ausdruck \(\dfrac{9x^2-16}{(3x+4)^2}\).
Lösung
Der Zähler ist eine Differenz von Quadraten: \(9x^2-16=(3x-4)(3x+4)\). Daher \(\dfrac{(3x-4)(3x+4)}{(3x+4)^2}=\dfrac{3x-4}{3x+4}\). Antwort: D.
Formen
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34
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie den Ausdruck \(\dfrac{a^2-4b^2}{3a+6b}\).
Lösung
\(a^2-4b^2=(a-2b)(a+2b)\) und \(3a+6b=3(a+2b)\). Nach dem Kürzen erhalten wir \(\dfrac{a-2b}{3}\). Antwort: B.
Formen
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35
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie den Ausdruck \(\dfrac{2-x}{x^2+x-6}\), wobei \(x\ne2\) und \(x\ne-3\).
Lösung
Den Nenner faktorisieren: \(x^2+x-6=(x-2)(x+3)\), außerdem \(2-x=-(x-2)\). Daher \(\dfrac{2-x}{x^2+x-6}=-\dfrac1{x+3}\). Antwort: B.
Formen
Raster
Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.
36
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie den Ausdruck \(\dfrac{a^2+ab}{(a+b)^2}-\dfrac{2a+b}{a+b}\).
Lösung
Für \(a+b\ne0\) gilt \(a^2+ab=a(a+b)\), also ist der erste Bruch \(a/(a+b)\). Dann \(\dfrac{a-(2a+b)}{a+b}=\dfrac{-(a+b)}{a+b}=-1\). Antwort: E.
Formen
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37
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie den Ausdruck \(\dfrac{2a^2-50b^2}{5b+a}\).
Lösung
\(2a^2-50b^2=2(a-5b)(a+5b)\) und \(5b+a=a+5b\). Für \(a+5b\ne0\) kürzt sich der Faktor, sodass \(2(a-5b)=2a-10b\). Antwort: E.
Formen
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38
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie den Ausdruck \(\dfrac{27a^3b-12ab}{9a^3b^2-6a^2b^2}\).
Lösung
Faktorisieren: Zähler \(3ab(3a-2)(3a+2)\), Nenner \(3a^2b^2(3a-2)\). Nach dem Kürzen bleibt \(\dfrac{3a+2}{ab}\) (für zulässige Variablenwerte). Antwort: C.
Formen
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39
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Vereinfachen Sie den Ausdruck \(\dfrac{(2x-3)^2-9}{x}\).
Lösung
\((2x-3)^2-9=4x^2-12x=4x(x-3)\). Für \(x\ne0\): \(\dfrac{4x(x-3)}x=4x-12\). Antwort: A.
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40
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Kürzen Sie den Bruch \(\dfrac{4b^2+20b}{25+10b+b^2}\).
Lösung
\(4b^2+20b=4b(b+5)\) und \(25+10b+b^2=(b+5)^2\). Für \(b\ne-5\): \(\dfrac{4b(b+5)}{(b+5)^2}=\dfrac{4b}{b+5}\). Antwort: E.
Formen
Raster
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