Обчисліть значення виразу \(\dfrac{a^2-b^2}{a-b}-\dfrac{a^3-b^3}{a^2-b^2}\), якщо \(a=10{,}2\), \(b=-0{,}2\).
Розв’язання
\(\dfrac{a^2-b^2}{a-b}=a+b\), а \(\dfrac{a^3-b^3}{a^2-b^2}=\dfrac{a^2+ab+b^2}{a+b}\). Для \(a=10{,}2\), \(b=-0{,}2\): \(a+b=10\), \(a^2+ab+b^2=104{,}04-2{,}04+0{,}04=102{,}04\). Отже, \(10-\dfrac{102{,}04}{10}=10-10{,}204=-0{,}204\). Відповідь: \(-0{,}204\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
2
Завдання
Одна правильна відповідь
Знайдіть значення виразу \(\dfrac1b-\dfrac1a\), якщо \(\dfrac{\sqrt3a-\sqrt3b}{ab}=\sqrt{12}\).
Розв’язання
\(\dfrac{\sqrt3a-\sqrt3b}{ab}=\sqrt3\,\dfrac{a-b}{ab}=\sqrt3\left(\dfrac1b-\dfrac1a\right)\). Оскільки \(\sqrt{12}=2\sqrt3\), маємо \(\dfrac1b-\dfrac1a=2\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
3
Завдання
Установлення відповідності
Установіть відповідність між виразами (1–4) та їхніми значеннями, якщо \(x=0{,}5\) (А–Д).
А
\(-2{,}5\) Б
\(-0{,}25\) В
\(0{,}25\) Г
\(1{,}5\) Д
\(2{,}5\)
Розв’язання
1) \(\dfrac{x^2-9}{x+3}=x-3=-2{,}5\) — А. 2) \((x-5)^2+5(2x-5)=0{,}25\) — В. 3) \(\dfrac{x^3+1}{x^2-x+1}=x+1=1{,}5\) — Г. 4) \(\dfrac{3x-6}{8x}\cdot\dfrac{x}{(x-2)^2}=\dfrac3{8(x-2)}=-0{,}25\) — Б. Відповідь: 1–А, 2–В, 3–Г, 4–Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
4
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \(\dfrac{b^2\cdot b^{10}}{b^4}\), де \(b\ne0\).
Розв’язання
За властивостями степенів: \(\dfrac{b^2b^{10}}{b^4}=b^{2+10-4}=b^8\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
5
Завдання
Числова відповідь
Знайдіть значення виразу, якщо \(m=4{,}25\): \[\dfrac{m+4}{m^2-6m+9}\cdot\dfrac{2m-6}{m^2-16}-\dfrac2{m-4}.\]
Розв’язання
Розкладемо на множники: \(m^2-6m+9=(m-3)^2\), \(m^2-16=(m-4)(m+4)\), \(2m-6=2(m-3)\). Тоді вираз дорівнює \(\dfrac2{(m-3)(m-4)}-\dfrac2{m-4}=-\dfrac2{m-3}\). При \(m=4{,}25\): \(-2:1{,}25=-1{,}6\). Відповідь: -1,6.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
6
Завдання
Установлення відповідності
Установіть відповідність між заданим виразом (1–4) та виразом, що йому тотожно дорівнює (А–Д), якщо \(a\ne0\), \(a\ne1\), \(a\ne-1\).
А
\(a-1\) Б
\(-a-1\) В
\(-\dfrac1{a+1}\) Г
\(-\dfrac1{a-1}\) Д
\(a+1\)
Розв’язання
1) \(\dfrac{a}{a+1}\cdot\dfrac{(a-1)(a+1)}a=a-1\) — А. 2) \(a^2-\dfrac{a^3-1}{a-1}=a^2-(a^2+a+1)=-a-1\) — Б. 3) \(\dfrac{1-a}{a}\cdot\dfrac a{a^2-1}=-\dfrac1{a+1}\) — В. 4) \(\dfrac{a-2}{a-1}-1=-\dfrac1{a-1}\) — Г. Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В, 4–Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
7
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \(\dfrac{9-x^2}{x^2+6x+9}\).
Розв’язання
\(9-x^2=(3-x)(3+x)\), а \(x^2+6x+9=(x+3)^2\). Тому \(\dfrac{9-x^2}{x^2+6x+9}=\dfrac{3-x}{x+3}\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
8
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \(\dfrac{3x^2y}{9xy^3}\).
Розв’язання
Скорочуємо спільні множники: \(\dfrac{3x^2y}{9xy^3}=\dfrac13\cdot x\cdot\dfrac1{y^2}=\dfrac{x}{3y^2}\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
9
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \(\dfrac{a^2-1}{1-\frac1a}\).
Розв’язання
\(1-\dfrac1a=\dfrac{a-1}{a}\), а \(a^2-1=(a-1)(a+1)\). Тому \(\dfrac{a^2-1}{1-1/a}=\dfrac{(a-1)(a+1)}{(a-1)/a}=a(a+1)\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
10
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \(\dfrac{3x+12}{x^2-16}\).
Розв’язання
\(3x+12=3(x+4)\), \(x^2-16=(x-4)(x+4)\). Після скорочення маємо \(\dfrac3{x-4}\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
11
Завдання
Одна правильна відповідь
Якщо \(a=1-\dfrac{b}{c}\), то \(b=\)
Розв’язання
Із \(a=1-\dfrac{b}{c}\) маємо \(\dfrac{b}{c}=1-a\). Множимо на \(c\): \(b=c(1-a)\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
12
Завдання
Числова відповідь
Обчисліть значення виразу \(\dfrac{10a+b}{b^2-4a^2}+\dfrac{4a+2b}{b^2+4ab+4a^2}\) при \(a=0{,}25\), \(b=4{,}5\).
Розв’язання
Розкладемо знаменники: \(b^2-4a^2=(b-2a)(b+2a)\), \(b^2+4ab+4a^2=(b+2a)^2\). Також \(4a+2b=2(b+2a)\). Тоді \[\frac{10a+b}{(b-2a)(b+2a)}+\frac{2}{b+2a}=\frac{10a+b+2b-4a}{(b-2a)(b+2a)}=\frac{6a+3b}{(b-2a)(b+2a)}=\frac{3}{b-2a}.\] Підставляємо: \(\dfrac{3}{4{,}5-2\cdot0{,}25}=\dfrac34=0{,}75\). Відповідь: 0,75.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
13
Завдання
Числова відповідь
Обчисліть значення виразу \(\dfrac{a^2-6ab+9b^2}{a^2+4ab}:\dfrac{5a-15b}{a+4b}\) при \(a=0{,}1\), \(b=3{,}7\).
Дроби мають однаковий знаменник: \[\frac{a^2+16-8a}{a-4}=\frac{(a-4)^2}{a-4}=a-4.\] Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
17
Завдання
Одна правильна відповідь
Скоротіть дріб \(\dfrac{10ab^3}{5a^2b}\).
Розв’язання
Скорочуємо коефіцієнти й степені: \(\dfrac{10}{5}=2\), \(\dfrac{a}{a^2}=\dfrac1a\), \(\dfrac{b^3}{b}=b^2\). Отже, \(\dfrac{10ab^3}{5a^2b}=\dfrac{2b^2}{a}\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
18
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \(\dfrac{(a-b)^2-b^2}{a}\).
Розв’язання
Розкриваємо квадрат: \((a-b)^2-b^2=a^2-2ab+b^2-b^2=a^2-2ab=a(a-2b)\). Ділимо на \(a\): \(a-2b\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
19
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \(\dfrac{a^{24}}{(a^4)^2}\).
Розв’язання
\((a^4)^2=a^8\), тому \(\dfrac{a^{24}}{a^8}=a^{24-8}=a^{16}\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
20
Завдання
Одна правильна відповідь
Скоротіть дріб \(\dfrac{a^2-b^2}{a^2-ab}\).
Розв’язання
Розкладаємо на множники: \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), \(a^2-ab=a(a-b)\). Скорочуємо \(a-b\): \(\dfrac{a+b}{a}\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
21
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \(\dfrac{(2x^2)^3}{4x^9}\).
Розв’язання
\((2x^2)^3=8x^6\), тому \(\dfrac{8x^6}{4x^9}=2x^{-3}=\dfrac{2}{x^3}\), де \(x\ne0\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
Розкладаємо знаменники: \(2m-4=2(m-2)\), \(p^2-4=(p-2)(p+2)\). Скорочуємо \(m-2\) та \(p+2\): \(\dfrac1{2(p-2)}=\dfrac1{2p-4}\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
24
Завдання
Одна правильна відповідь
Запишіть у вигляді одного дробу: \(\dfrac{2x+1}{x-3}-\dfrac{x-2}{3-x}\).
Розв’язання
Оскільки \(3-x=-(x-3)\), то \( -\dfrac{x-2}{3-x}=+\dfrac{x-2}{x-3}\). Тому \(\dfrac{2x+1+x-2}{x-3}=\dfrac{3x-1}{x-3}\), де \(x\ne3\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
25
Завдання
Одна правильна відповідь
Виконайте ділення: \(\dfrac{12ab}{5}:(4a^2)\).
Розв’язання
Ділення на \(4a^2\) замінюємо множенням на \(\dfrac1{4a^2}\): \(\dfrac{12ab}{5}\cdot\dfrac1{4a^2}=\dfrac{3b}{5a}\), де \(a\ne0\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
26
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \(\dfrac{(3mn)^4}{m^2n}\).
Розв’язання
\((3mn)^4=3^4m^4n^4=81m^4n^4\). Ділимо на \(m^2n\): \(81m^{4-2}n^{4-1}=81m^2n^3\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
27
Завдання
Установлення відповідності
Установіть відповідність між виразом (1–4) та його значенням, якщо \(x=-2{,}5\) (А–Д).
А
\(-5{,}5\) Б
\(-4{,}5\) В
\(-0{,}5\) Г
\(0{,}5\) Д
\(4{,}5\)
Розв’язання
1) \(4-2x=2(2-x)\), тому \(\dfrac{x-2}{4-2x}=-\dfrac12=-0{,}5\) — В. 2) \(\dfrac{x^2-9}{x+3}=x-3=-5{,}5\) — А. 3) \(\dfrac{x^2-9}{x-3}=x+3=0{,}5\) — Г. 4) \(\dfrac{x^3-8}{x^2+2x+4}=x-2=-4{,}5\) — Б. Відповідь: 1–В, 2–А, 3–Г, 4–Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
28
Завдання
Числова відповідь
Знайдіть значення виразу \(\dfrac{2ab+a^2+b^2}{a^2+b^2-2ab}\), якщо \(a=13{,}4\), \(b=12{,}4\).
Розв’язання
Чисельник \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\), знаменник \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\). Тому \(\dfrac{(a+b)^2}{(a-b)^2}=\dfrac{25{,}8^2}{1^2}=665{,}64\). Відповідь: \(665{,}64\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
\(a^2-1=(a-1)(a+1)\), а \(a^2+2a+1=(a+1)^2\). Тому при \(a\ne-1\): \(\dfrac{(a-1)(a+1)^2}{(a+1)^2}=a-1\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
30
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \(\dfrac{25-x^2}{x^2+5x}\).
Розв’язання
Розкладемо чисельник і знаменник на множники: \(25-x^2=(5-x)(5+x)\), \(x^2+5x=x(x+5)\). Тому при \(x\ne0,-5\): \(\dfrac{(5-x)(5+x)}{x(x+5)}=\dfrac{5-x}{x}\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
31
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \(\dfrac{4x^2-25}{(2x-5)^2}\).
Розв’язання
\(4x^2-25=(2x-5)(2x+5)\). Тому при \(x\ne\dfrac52\): \(\dfrac{(2x-5)(2x+5)}{(2x-5)^2}=\dfrac{2x+5}{2x-5}\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
32
Завдання
Установлення відповідності
Установіть відповідність між заданим виразом (1–4) та виразом, що йому тотожно дорівнює (А–Д), якщо \(a\ne0\), \(a\ne1\), \(a\ne-1\).
А
\(a-1\) Б
\(-a-1\) В
\(-\dfrac1{a+1}\) Г
\(-\dfrac1{a-1}\) Д
\(a+1\)
Розв’язання
1) \(\dfrac{a}{a+1}\cdot\dfrac{a^2-1}{a}=\dfrac{a(a-1)(a+1)}{(a+1)a}=a-1\) — А. 2) \(a^2+\dfrac{a^3-1}{1-a}=\dfrac{a^2(1-a)+a^3-1}{1-a}=\dfrac{a^2-1}{1-a}=-(a+1)=-a-1\) — Б. 3) \(\dfrac{1-a}{a}:\dfrac{a^2-1}{a}=-\dfrac1{a+1}\) — В. 4) \(\dfrac{a-2}{a-1}-1=-\dfrac1{a-1}\) — Г. Відповідь: 1–А, 2–Б, 3–В, 4–Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
33
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \(\dfrac{9x^2-16}{(3x+4)^2}\).
Розв’язання
Розкладемо чисельник як різницю квадратів: \(9x^2-16=(3x-4)(3x+4)\). Тоді \(\dfrac{(3x-4)(3x+4)}{(3x+4)^2}=\dfrac{3x-4}{3x+4}\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
34
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \(\dfrac{a^2-4b^2}{3a+6b}\).
Розв’язання
\(a^2-4b^2=(a-2b)(a+2b)\), а \(3a+6b=3(a+2b)\). Після скорочення маємо \(\dfrac{a-2b}{3}\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
35
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \(\dfrac{2-x}{x^2+x-6}\), де \(x\ne2\), \(x\ne-3\).
Розв’язання
Розкладемо знаменник: \(x^2+x-6=(x-2)(x+3)\), а \(2-x=-(x-2)\). Тоді \(\dfrac{2-x}{x^2+x-6}=\dfrac{-(x-2)}{(x-2)(x+3)}=-\dfrac1{x+3}\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
Винесемо спільні множники: чисельник \(3ab(9a^2-4)=3ab(3a-2)(3a+2)\), знаменник \(3a^2b^2(3a-2)\). Після скорочення маємо \(\dfrac{3a+2}{ab}\) (для допустимих значень змінних). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
39
Завдання
Одна правильна відповідь
Спростіть вираз \(\dfrac{(2x-3)^2-9}{x}\).
Розв’язання
\((2x-3)^2-9=4x^2-12x+9-9=4x^2-12x=4x(x-3)\). При \(x\ne0\): \(\dfrac{4x(x-3)}x=4x-12\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
40
Завдання
Одна правильна відповідь
Скоротіть дріб \(\dfrac{4b^2+20b}{25+10b+b^2}\).
Розв’язання
\(4b^2+20b=4b(b+5)\), а \(25+10b+b^2=(b+5)^2\). При \(b\ne-5\): \(\dfrac{4b(b+5)}{(b+5)^2}=\dfrac{4b}{b+5}\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
