Thema 3 — Aufgaben

1

Aufgabe Zuordnung

Ordnen Sie jedem Ausdruck (1–4) den identisch gleichen Ausdruck (A–E) zu.

А \(4x^2+4xy+y^2\) Б \(4x^2-4xy+y^2\) В \(4x^2-4xy-y^2\) Г \(4x^2-3xy-y^2\) Д \(4x^2-y^2\)

1. \((2x-y)^2\) 2. \((2x-y)(2x+y)\) 3. \((2x+y)^2\) 4. \((x-y)(4x+y)\)

Lösung

1) \((2x-y)^2=4x^2-4xy+y^2\) — B. 2) \((2x-y)(2x+y)=4x^2-y^2\) — E. 3) \((2x+y)^2=4x^2+4xy+y^2\) — A. 4) \((x-y)(4x+y)=4x^2-3xy-y^2\) — D. Zuordnung: 1–B, 2–E, 3–A, 4–D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

2

Aufgabe Numerische Antwort

Bestimmen Sie den Wert von \(|y-2x|\), wenn \(4x^2-4xy+y^2=\dfrac94\).

Ihre Antwort

Lösung

\(4x^2-4xy+y^2=(2x-y)^2=\dfrac94\). Daher \(|2x-y|=\dfrac32=1{,}5\). Da \(|2x-y|=|y-2x|\), lautet die Antwort \(1{,}5\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

3

Aufgabe Eine richtige Antwort

Wenn \(a<-2\), dann ist \(1-|a+2|=\)

А \(-a-3\) Б \(-a-1\) В \(a-1\) Г \(a+3\) Д \(-a+3\)

Lösung

Da \(a<-2\), gilt \(a+2<0\), also \(|a+2|=-(a+2)=-a-2\). Somit \(1-|a+2|=1-(-a-2)=a+3\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

4

Aufgabe Eine richtige Antwort

Stellen Sie den Ausdruck \((3y-2)(3y+2)\) als Polynom dar.

А \(3y^2-4\) Б \(9y^2+4\) В \(9y^2-4\) Г \(9y^2-4y+4\) Д \(9y^2+4y+4\)

Lösung

Mit der Differenz-von-Quadraten-Formel: \((3y-2)(3y+2)=(3y)^2-2^2=9y^2-4\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

5

Aufgabe Eine richtige Antwort

Bestimmen Sie den Wert des Ausdrucks \((5^{-5})^{-4}:(5^{-7})^{-3}\).

А 1,2 Б 0,25 В 0,2 Г 2,5 Д 0,02

Lösung

\((5^{-5})^{-4}=5^{20}\) und \((5^{-7})^{-3}=5^{21}\). Daher \(5^{20}:5^{21}=5^{-1}=\dfrac15=0{,}2\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

6

Aufgabe Eine richtige Antwort

Vereinfachen Sie den Ausdruck \(a-|a|\), wenn \(a<0\).

А \(2a\) Б \(a\) В \(0\) Г \(-a\) Д \(-2a\)

Lösung

Für \(a<0\) gilt \(|a|=-a\). Also \(a-|a|=a-(-a)=2a\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

7

Aufgabe Zuordnung

Ordnen Sie jedem Ausdruck (1–4) für \(a>0\) den identisch gleichen Ausdruck (A–E) zu.

А \(32a^{11}\) Б \(2a^{\frac56}\) В \(2a^{\frac65}\) Г \(2a^{-1}\) Д \(32a^{30}\)

1. \(\dfrac{2a^5}{a^6}\) 2. \((2a)^5\cdot a^6\) 3. \((2a^6)^5\) 4. \(\sqrt[6]{64a^5}\)

Lösung

1) \(\dfrac{2a^5}{a^6}=2a^{-1}\) — D. 2) \((2a)^5\cdot a^6=2^5a^{11}=32a^{11}\) — A. 3) \((2a^6)^5=2^5a^{30}=32a^{30}\) — E. 4) \(\sqrt[6]{64a^5}=64^{1/6}a^{5/6}=2a^{5/6}\) — B. Zuordnung: 1–D, 2–A, 3–E, 4–B.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

8

Aufgabe Eine richtige Antwort

Vereinfachen Sie den Ausdruck \((a^6)^4:a^2\), wobei \(a\ne0\).

А \(a^5\) Б \(a^8\) В \(a^{10}\) Г \(a^{12}\) Д \(a^{22}\)

Lösung

\((a^6)^4:a^2=a^{24}:a^2=a^{22}\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

9

Aufgabe Numerische Antwort

Vereinfachen Sie \(2(a^2-5ab+4b^2)-3(2a^2-2ab+3b^2)\) und berechnen Sie seinen Wert für \(a=1{,}1\), \(b=0{,}8\).

Ihre Antwort

Lösung

\(2(a^2-5ab+4b^2)-3(2a^2-2ab+3b^2)=-4a^2-4ab-b^2=-(2a+b)^2\). Für \(a=1{,}1\), \(b=0{,}8\): \(-(2\cdot1{,}1+0{,}8)^2=-3^2=-9\). Antwort: \(-9\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

10

Aufgabe Zuordnung

Ordnen Sie den gegebenen Ausdrücken (1–4) die jeweils identisch gleichen Ausdrücke (A–E) zu.

А \(4a^2-b^2\) Б \(4b^2-2ab+a^2\) В \(2a^2+3ab-2b^2\) Г \(4a^2+4ab+b^2\) Д \(4b^2-4ab+a^2\)

1. \((2a+b)^2\) 2. \((2a-b)(b+2a)\) 3. \((a-2b)^2\) 4. \((a+2b)(2a-b)\)

Lösung

1) \((2a+b)^2=4a^2+4ab+b^2\) — D. 2) \((2a-b)(b+2a)=(2a-b)(2a+b)=4a^2-b^2\) — A. 3) \((a-2b)^2=a^2-4ab+4b^2\) — E. 4) \((a+2b)(2a-b)=2a^2+3ab-2b^2\) — C. Zuordnung: 1–D, 2–A, 3–E, 4–C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

11

Aufgabe Eine richtige Antwort

Stellen Sie den Ausdruck \((x+3)(2x-1)\) als Polynom dar.

А \(2x^2+5x-3\) Б \(2x^2-5x-3\) В \(2x^2+5x+3\) Г \(2x^2+7x-3\) Д \(x^2+5x-3\)

Lösung

Wir multiplizieren aus: \((x+3)(2x-1)=2x^2-x+6x-3=2x^2+5x-3\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

12

Aufgabe Eine richtige Antwort

Faktorisieren Sie den Ausdruck \(25x^2-1\).

А \((25x-1)(x+1)\) Б \((5x-1)^2\) В \((5x-1)(5x+1)\) Г \(5(x-1)(x+1)\) Д \(25(x-1)(x+1)\)

Lösung

Das ist eine Differenz von Quadraten: \(25x^2-1=(5x)^2-1^2=(5x-1)(5x+1)\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

13

Aufgabe Eine richtige Antwort

Wenn \(2^a=\dfrac15\), dann ist \(2^{6-a}=\)

А \(12{,}8\) Б \(59\) В \(69\) Г \(240\) Д \(320\)

Lösung

\(2^{6-a}=\dfrac{2^6}{2^a}=\dfrac{64}{1/5}=320\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

14

Aufgabe Eine richtige Antwort

Vereinfachen Sie \(0{,}4x^2\cdot5x^3\).

А \(2x^6\) Б \(20x^5\) В \(2x^5\) Г \(0{,}2x^5\) Д \(0{,}2x^6\)

Lösung

\(0{,}4\cdot5=2\) und \(x^2\cdot x^3=x^5\). Also \(0{,}4x^2\cdot5x^3=2x^5\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

15

Aufgabe Eine richtige Antwort

Faktorisieren Sie \((a-1)^2-(b-1)^2\).

А \((a-b)(a+b)\) Б \((a-b)(a+b+2)\) В \((a-b)^2\) Г \((a-b)(a+b-2)\) Д \((a+b)(a-b-2)\)

Lösung

Mit der Differenz zweier Quadrate: \((a-1)^2-(b-1)^2=(a-b)(a+b-2)\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

16

Aufgabe Eine richtige Antwort

Geben Sie den Ausdruck an, der identisch gleich \(x^2+4\) ist.

А \((x+2)(x-2)\) Б \(x(x+4)\) В \((x+2)^2+4x\) Г \((x+2)^2\) Д \((x-2)^2+4x\)

Lösung

Für E gilt: \((x-2)^2+4x=x^2-4x+4+4x=x^2+4\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

17

Aufgabe Zuordnung

Ordnen Sie jedem Ausdruck (1–4) die passende Aussage über seinen Wert (A–E) für \(a=15\) zu.

А ist kleiner als 20 Б ist eine Primzahl В ist gerade Г ist durch 3 teilbar Д ist durch 5 teilbar

1. \(\dfrac73a\) 2. \(2a-1\) 3. \(a^2+12a+36\) 4. \(a^2+13^2\)

Lösung

Für \(a=15\): 1) \(\dfrac73\cdot15=35\), durch 5 teilbar — E. 2) \(2\cdot15-1=29\), Primzahl — B. 3) \(15^2+12\cdot15+36=441\), durch 3 teilbar — D. 4) \(15^2+13^2=394\), gerade — C. Zuordnung: 1–E, 2–B, 3–D, 4–C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

18

Aufgabe Eine richtige Antwort

Vereinfachen Sie den Ausdruck \(\dfrac{2a+2}{2}\).

А \(a+2\) Б \(2a+1\) В \(a+1\) Г \(2a\) Д \(a\)

Lösung

\(\dfrac{2a+2}{2}=\dfrac{2(a+1)}2=a+1\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

19

Aufgabe Eine richtige Antwort

Vereinfachen Sie \(a(a+2b)-(a+b)^2\).

А \(4ab+b^2\) Б \(4ab-b^2\) В \(-b^2\) Г \(2ab-b^2\) Д \(b^2\)

Lösung

Ausmultiplizieren: \(a(a+2b)-(a+b)^2=a^2+2ab-(a^2+2ab+b^2)=-b^2\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

20

Aufgabe Eine richtige Antwort

Wenn \(x^2-y^2=7\) und \(3x+3y=63\), dann ist \(x-y=\)

А \(14\) Б \(147\) В \(-\dfrac13\) Г \(-3\) Д \(\dfrac13\)

Lösung

Aus \(3x+3y=63\) folgt \(x+y=21\). Da \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)=7\), gilt \((x-y)\cdot21=7\), also \(x-y=\dfrac13\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

21

Aufgabe Eine richtige Antwort

Wenn \(2^x=3\), dann ist \(4^{x+1}=\)

А \(12\) Б \(13\) В \(18\) Г \(36\) Д \(64\)

Lösung

\(4^{x+1}=4\cdot4^x=4\cdot(2^x)^2=4\cdot3^2=36\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

22

Aufgabe Eine richtige Antwort

Vereinfachen Sie \(0{,}8b^9:(8b^3)\), wobei \(b\ne0\).

А \(0{,}1b^6\) Б \(10b^6\) В \(6{,}4b^{12}\) Г \(0{,}1b^3\) Д \(10b^3\)

Lösung

\(0{,}8b^9:(8b^3)=\dfrac{0{,}8}{8}b^{9-3}=0{,}1b^6\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

23

Aufgabe Eine richtige Antwort

Vereinfachen Sie \(2a-(3b-2a)\).

А \(-3b\) Б \(4a-3b\) В \(-6ab-4a\) Г \(-6ab+4a\) Д \(-6ab-4a^2\)

Lösung

Klammern auflösen: \(2a-(3b-2a)=2a-3b+2a=4a-3b\). Antwort: B.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

24

Aufgabe Zuordnung

Auf der \(x\)-Achse ist ein Punkt mit der Koordinate \(a\) wie in der Abbildung markiert.

Ordnen Sie jedem Ausdruck (1–3) den Punkt auf der \(x\)-Achse (A–E) zu, dessen Koordinate dem Wert des Ausdrucks entspricht.

А \(M\) Б \(L\) В \(P\) Г \(K\) Д \(N\)

1. \(-2a\) 2. \(3^a\) 3. \(|a-1|\)

Lösung

Aus der Skala der Zeichnung ist \(a\approx0{,}75\). Dann gilt: \(-2a\approx-1{,}5\) — Punkt \(K\) (D); \(3^a\approx3^{0{,}75}\approx2{,}28\) — Punkt \(P\) (C); \(|a-1|\approx0{,}25\) — Punkt \(M\) (A). Zuordnung: 1–D, 2–C, 3–A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

25

Aufgabe Eine richtige Antwort

Berechnen Sie \(\left(\dfrac13\right)^{-2}\).

А \(-9\) Б \(-\dfrac19\) В \(-\dfrac16\) Г \(\dfrac19\) Д \(9\)

Lösung

Mit der Regel für negative Exponenten: \(\left(\dfrac13\right)^{-2}=3^2=9\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

26

Aufgabe Eine richtige Antwort

Faktorisieren Sie \((x+y)^2-9x^2\).

А \((-8x+y)(10x+y)\) Б \((-2x-y)(4x-y)\) В \((-2x+y)(4x+y)\) Г \((4x+y)^2\) Д \((-2x+y)^2\)

Lösung

Differenz von Quadraten: \((x+y)^2-(3x)^2=(x+y-3x)(x+y+3x)=(-2x+y)(4x+y)\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

27

Aufgabe Eine richtige Antwort

Vereinfachen Sie \(x+2(x-2)\).

А \(3x-4\) Б \(3x+4\) В \(3x\) Г \(3x-2\) Д \(2x-2\)

Lösung

\(x+2(x-2)=x+2x-4=3x-4\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

28

Aufgabe Eine richtige Antwort

Wählen Sie den Ausdruck, der identisch gleich \((2x-3)^2+12x\) ist.

А \(4x^2+12x-9\) Б \(4x^2+9\) В \(4x^2-9\) Г \(4x^2+12x+9\) Д \(4x^2+6x+9\)

Lösung

\((2x-3)^2+12x=4x^2-12x+9+12x=4x^2+9\). Antwort: B.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

29

Aufgabe Eine richtige Antwort

Vereinfachen Sie \((a-4)^2-a^2\).

А \(-8a+16\) Б \(8a+16\) В \(16\) Г \(-4a+16\) Д \(-4a+8\)

Lösung

\((a-4)^2-a^2=a^2-8a+16-a^2=-8a+16\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

30

Aufgabe Eine richtige Antwort

Berechnen Sie \(\dfrac{15^3}{3^2}\).

А \(5\) Б \(15\) В \(125\) Г \(375\) Д \(675\)

Lösung

\(\dfrac{15^3}{3^2}=\dfrac{(5\cdot3)^3}{3^2}=5^3\cdot3^{3-2}=125\cdot3=375\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

31

Aufgabe Eine richtige Antwort

Vereinfachen Sie \(\dfrac{3m-2n}{8}-\dfrac{3m}{8}\).

А \(-\dfrac n4\) Б \(-\dfrac n8\) В \(-\dfrac n6\) Г \(-\dfrac m4\) Д \(\dfrac{3m-n}{4}\)

Lösung

\(\dfrac{3m-2n}{8}-\dfrac{3m}{8}=\dfrac{-2n}{8}=-\dfrac n4\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

32

Aufgabe Eine richtige Antwort

Vereinfachen Sie \(2(x+5y)-(4y-7x)\).

А \(9x+y\) Б \(9x+14y\) В \(-5x+6y\) Г \(9x+6y\) Д \(16x+2y\)

Lösung

\(2(x+5y)-(4y-7x)=2x+10y-4y+7x=9x+6y\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

33

Aufgabe Eine richtige Antwort

Vereinfachen Sie \(3(1-x)(1+x)\).

А \(3-3x^2\) Б \(3-x^2\) В \(3+3x^2\) Г \(3+x^2\) Д \(3+6x-3x^2\)

Lösung

Mit der Differenz-von-Quadraten-Formel gilt \((1-x)(1+x)=1-x^2\), also \(3(1-x)(1+x)=3-3x^2\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

34

Aufgabe Zuordnung

Ordnen Sie jedem Ausdruck (1–3) seinen Wert (A–E) zu, wenn \(a=\dfrac{25}{4}\) gilt.

А \(2\dfrac12\) Б \(\dfrac4{25}\) В \(3\dfrac12\) Г \(4\dfrac16\) Д \(-3\dfrac12\)

1. \(\dfrac{2a}{3}\) 2. \(\dfrac1a\) 3. \(|9-2a|\)

Lösung

1) \(\dfrac{2a}{3}=\dfrac{25}{6}=4\dfrac16\) — D. 2) \(\dfrac1a=\dfrac4{25}\) — B. 3) \(|9-2a|=|9-25/2|=7/2=3\dfrac12\) — C. Zuordnung: 1–D, 2–B, 3–C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

35

Aufgabe Eine richtige Antwort

Vereinfachen Sie den Ausdruck \((-2a^{-3}b)^{-2}\).

А \(\dfrac{4a^6}{b^2}\) Б \(\dfrac{a^6b^2}{4}\) В \(\dfrac{a^6}{4b^2}\) Г \(-\dfrac{a^6}{4b^2}\) Д \(\dfrac{4b^2}{a^6}\)

Lösung

\((-2a^{-3}b)^{-2}=(-2)^{-2}(a^{-3})^{-2}b^{-2}=\dfrac{a^6}{4b^2}\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

36

Aufgabe Eine richtige Antwort

Berechnen Sie \(\left(\dfrac23\right)^{-2}\cdot\left(1\dfrac18\right)^{-1}+(-7)^0\).

А \(2\) Б \(3\) В \(4\) Г \(8\) Д \(9\)

Lösung

\(\left(\dfrac23\right)^{-2}=\dfrac94\), \(\left(\dfrac98\right)^{-1}=\dfrac89\) und \((-7)^0=1\). Daher \(\dfrac94\cdot\dfrac89+1=3\). Antwort: B.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

37

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Gleichung \(x-2{,}5=1-1\dfrac13x\).

А \(-1{,}5\) Б \(0{,}5\) В \(1{,}5\) Г \(2{,}5\) Д \(3{,}5\)

Lösung

\(x+\dfrac43x=3{,}5\), also \(\dfrac73x=\dfrac72\) und damit \(x=\dfrac32=1{,}5\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

38

Aufgabe Numerische Antwort

Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung \(\dfrac{x-1}{7}+\dfrac{9-2x}{14}=\dfrac{18+3x}{21}\).

Ihre Antwort

Lösung

Links: \(\dfrac{2(x-1)+9-2x}{14}=\dfrac12\). Daher \(\dfrac12=\dfrac{18+3x}{21}\), also \(21=36+6x\) und \(x=-2{,}5\). Antwort: -2,5.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

39

Aufgabe Eine richtige Antwort

Vereinfachen Sie \(0{,}5a(20a-10)-0{,}2a(40a-25)\).

А \(2a^2-10a\) Б \(2a^2\) В \(10a+2a^2\) Г \(2a^2-10\) Д \(2a^4\)

Lösung

\(0{,}5a(20a-10)-0{,}2a(40a-25)=10a^2-5a-8a^2+5a=2a^2\). Antwort: B.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

40

Aufgabe Eine richtige Antwort

Schreiben Sie \((3a-4b)^2\) als Polynom.

А \(9a^2-16b^2\) Б \(9a^2+16b^2\) В \(9a^2-24ab+16b^2\) Г \(9a^2+24ab+16b^2\) Д \(9a^2-12ab+16b^2\)

Lösung

Mit \((u-v)^2=u^2-2uv+v^2\) erhalten wir \((3a-4b)^2=9a^2-24ab+16b^2\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

Ganzrationale Ausdrücke. Potenzausdrücke