Темперація

Кома не зникає сама — її розподіляють як малу корекцію інтервалів, щоб система замкнулася точно.

Означення

Темперація — це навмисна мала зміна чистих натуральних інтервалів, яка усуває незамикання системи. У 12-TET ця корекція розподілена рівномірно.

\[ \left(2^{7/12}\right)^{12}=2^7 \]

Розподіл похибки Кома ділиться між 12 квінтами

Піфагорійська кома \[23.460\text{¢}\]

÷ 12

Корекція однієї квінти \[\frac{23.460}{12}\approx1.955\text{¢}\]

−1.955¢−1.955¢−1.955¢−1.955¢−1.955¢−1.955¢−1.955¢−1.955¢−1.955¢−1.955¢−1.955¢−1.955¢

Корекція квінти Від чистої до темперованої

Natural \[\frac32\] 701.955¢

− 1.955¢

12-TET \[2^{7/12}\] 700.000¢

Результат Система замикається точно

Чисті квінти \[ \left(\frac32\right)^{12}\neq2^7 \]

→

Темперовані квінти \[ \left(2^{7/12}\right)^{12}=2^7 \]

12-TET Єдиний множник для всіх півтонів

Один півтон \[ r=2^{1/12} \]

Після n півтонів \[ f_n=f_0\cdot2^{n/12} \]

Через 12 півтонів \[ f_{12}=2f_0 \]

Опис математична логіка темперації

Чисті натуральні інтервали не утворюють замкненої 12-ступеневої системи: 12 квінт 3/2 не дорівнюють точно 7 октавам. Різниця становить приблизно 23.460¢.

У рівномірній темперації цю різницю розподіляють між 12 квінтами. Кожну чисту квінту звужують приблизно на 1.955¢: від 701.955¢ до 700¢.

Після такої корекції всі 12 півтонів будуються одним множником 2^(1/12), а 12 темперованих квінт точно дорівнюють 7 октавам. Система стає замкненою й однаковою в усіх тональностях.