Exponentialgleichungen

Aus der zweiten Gleichung folgt \(2^x=15+y\). In die erste eingesetzt: \(3y+15+y=-13\), also \(y=-7\). Dann \(2^x=8\), somit \(x=3\). Daher \(x_0+y_0=-4\). Antwort: A.

\(\dfrac1{27}=3^{-3}\). Daher \(x=-3\), und \(-3\in(-5;-2]\). Antwort: B.

Da \(3^3=27\lt30\lt81=3^4\) und \(3^x\) streng wächst, gilt \(3\lt x\lt4\). Antwort: C.

\(3^x\cdot4^x=12^x\) und \((12^{x+1})^5=12^{5x+5}\). Daher \(x=5x+5\), also \(x=-\dfrac54=-1{,}25\).

Aus der ersten Gleichung folgt \(x-2y=-1\), also \(2y=x+1\). Daher \(3^{2y}=3^{x+1}=3\cdot3^x\). Die zweite Gleichung wird zu \(4\cdot3^x=4\sqrt3\), also \(x=\dfrac12\). Dann \(y=\dfrac34\), und \(x_0y_0=\dfrac38=0{,}375\).

\(16^{-1}=4^{-2}\), also \(x=-2\). Aus \(x+y=5\) folgt \(y=7\). Daher \(x_0y_0=-14\). Antwort: B.

\(125=5^3\), daher \(x+1=3\) und \(x=2\). Somit \(2\in[0;3)\). Antwort: A.

\(27=3^3\), daher \(x+4=3\) und \(x=-1\). Somit \(-1\in[-2;0)\). Antwort: B.

Definitionsbereich: \(x\ge-3{,}6\). Der erste Faktor wird null, wenn \(3^{2x^2-29}=3^3\), also \(x=\pm4\); zulässig ist nur \(x=4\). Der vierte Wurzelfaktor wird bei \(x=-3{,}6\) null. Die Summe ist \(0{,}4\). Antwort: A.

\(4=2^2\) und \(8=2^3\). Also \(2^{2x}=2^3\), daher \(x=\dfrac32\). Antwort: C.

\(\dfrac18=2^{-3}\), daher \(x=-3\). Der Wert \(-3\) liegt im Intervall \((-4;-2]\). Antwort: B.

\(\dfrac1{125}=5^{-3}\), also \(5^{x+3}=5^{-3x}\). Daher \(x+3=-3x\), somit \(x=-\dfrac34=-0{,}75\). Also \(x\in(-1;0]\). Antwort: C.

\(3^x\cdot4^x=12^x\) und \(\dfrac1{144}=12^{-2}\). Daher \(x=-2\), und \(-2\in[-5;-1)\). Antwort: B.

\(\sqrt[3]{8^x}=2^x\), während \(\sqrt2\cdot\sqrt[3]{2}=2^{1/2+1/3}=2^{5/6}\). Also \(x=\dfrac56\). Antwort: D.

\(\dfrac{2\sqrt3}{6}=\dfrac{\sqrt3}{3}=3^{-1/2}\). Daher \(x=-\dfrac12=-0{,}5\). Antwort: C.

\(\dfrac1{2^3}=2^{-3}\). Daher \(2x=-3\) und \(x=-\dfrac32=-1{,}5\). Antwort: C.

Ausklammern von \(2^x\) ergibt \(5\cdot2^x=10\sqrt2\). Somit \(2^x=2\sqrt2=2^{3/2}\), also \(x=1{,}5\in[1;2)\). Antwort: D.

\(25=5^2\), daher \(x-2=2\) und \(x=4\). Antwort: B.

\(9=3^2\), also \(7x=2\). Somit \(x=\dfrac27\approx0{,}2857\), gerundet auf eine Dezimalstelle \(0{,}3\). Antwort: C.

Setzen wir \(t=2^x\gt0\). Dann ist \(4^x=t^2\), und die Gleichung wird zu \(3t^2+(3x-10)t+3-x=0\). Durch Gruppieren erhält man \((3t-1)(t+x-3)=0\). Somit gilt entweder \(3\cdot2^x=1\), woraus \(x=\log_2\dfrac13=-\log_2 3\) folgt, oder \(2^x+x-3=0\). Die Funktion \(2^x+x\) ist streng wachsend; \(x=1\) erfüllt die Gleichung und ist daher die einzige Lösung dieses Zweigs. Die größere der beiden Lösungen ist \(1\).

Wir schreiben \(9=3^2=\left(\dfrac13\right)^{-2}\). Dann gilt \(2x-1=-2\), also \(x=-\dfrac12\). Somit \(x\in(-1;0]\). Antwort: B.

Wir klammern \(5^x\) aus: \(5^x\left(\dfrac{12}{5}+3-5\right)=10\). Damit \(\dfrac25\cdot5^x=10\), also \(5^x=25=5^2\). Daher \(x=2\).

\(0{,}2=5^{-1}\) und \(\sqrt{125}=5^{3/2}\). Also \(-3x+1=\dfrac32\), woraus \(x=-\dfrac16\) folgt. Antwort: D.

Setzen wir \(t=2^x\gt0\). Dann ist \(4^{x-1}=\dfrac{t^2}{4}\) und \(1{,}5\cdot2^{x+2}=6t\). Es folgt \(t^2-24t+80=0\), also \(t=4\) oder \(t=20\). Daher \(x=2\) oder \(x=\log_2 20\). Antwort: C.

Nach Division durch \(3^{2x}\ne0\) erhält man \(3\left(\dfrac23\right)^{2x}-5\left(\dfrac23\right)^x+2=0\). Setzen wir \(t=\left(\dfrac23\right)^x\gt0\). Dann \(3t^2-5t+2=0\), also \(t=1\) oder \(t=\dfrac23\). Damit \(x=0\) oder \(x=1\). Antwort: E.

Multiplikation mit \(2^{3x+1}\) ergibt \(7^{x+1}2^{3x+1}=14\), also \(14\cdot56^x=14\). Daher \(56^x=1\) und \(x=0\). Antwort: C.

Definitionsbereich: \(x\ne0\). Da \(5^{\frac{x+4}{x}}=5\left(5^{\frac2x}\right)^2\), setzen wir \(t=5^{\frac2x}\gt0\). Dann \(5t^2-124t-25=0\), mit \(t=-\dfrac15\) oder \(t=25\). Nur \(t=25\) ist zulässig. Somit \(5^{2/x}=5^2\), also \(x=1\). Antwort: A.

Wir teilen durch \(5^{x-1}\ne0\): \(\left(\dfrac25\right)^{x-1}=1=\left(\dfrac25\right)^0\). Daher \(x-1=0\) und \(x=1\).

Es gilt \(0\le\sin^2(\cdots)\le1\), daher liegt die linke Seite zwischen \(1\) und \(2\). Außerdem ist \((x-a)^2-6(x-a)+13=(x-a-3)^2+4\ge4\), somit liegt die rechte Seite in \((0;1]\). Gleichheit ist daher nur möglich, wenn beide Seiten \(1\) sind. Also \(\sin^2\left(2\pi x+\frac{5\pi}{4}\right)=0\) und \(x=a+3\). Aus der ersten Bedingung folgt \(x=\dfrac n2-\dfrac58\), \(n\in\mathbb Z\). Für eine positive Lösung muss \(n\gt\dfrac54\); der kleinste mögliche Wert ist \(n=2\). Dann \(x=\dfrac38\) und \(a=x-3=-\dfrac{21}{8}=-2{,}625\).

**1. Fall \(a=0\).** Aus der ersten Gleichung folgt \(3^{2+y^2}=27=3^3\), also \(y^2=1\) und \(y=\pm1\). Die zweite Gleichung liefert dann \(x+9=8\), also \(x=-1\). Lösungen: \((-1;1)\) und \((-1;-1)\). **2. Beliebiges \(a\).** Aus der zweiten Gleichung folgt \(3^{1+y^2}=8-x\), somit \(3^{2+y^2}=3(8-x)\). Einsetzen in die erste Gleichung ergibt \(ax^2+x(a-3)-3=0\). Der Diskriminant ist \(D=(a+3)^2\). Für \(a\ne0\) erhält man \(x_1=\dfrac3a\) und \(x_2=-1\). Für \(x=-1\) folgt stets \(y=\pm1\). Für \(x=\dfrac3a\) gilt \(3^{y^2}=\dfrac{8a-3}{3a}\), also \(y^2=\log_3\dfrac{8a-3}{3a}\). Reelle \(y\) existieren genau dann, wenn \(\dfrac{8a-3}{3a}\ge1\), also \(\dfrac{5a-3}{3a}\ge0\). Daraus folgt \(a\in(-\infty;0)\cup[0{,}6;+\infty)\). Für \(a\in[0;0{,}6)\) gibt es nur \((-1;\pm1)\); außerhalb dieses Intervalls kommen die Lösungen \(\left(\dfrac3a;\pm\sqrt{\log_3\dfrac{8a-3}{3a}}\right)\) hinzu.