Irrationale Ungleichungen

Die Funktion \(g(x)=\sqrt{9-x^2}\) ist auf \([-3;3]\) definiert. Im Diagramm liegt die Gerade \(f(x)=x+3\) bei \(x=-3\) und auf \([0;3]\) nicht unter dem Halbkreis. Daher \(x\in\{-3\}\cup[0;3]\). Antwort: A.

Für eine Wurzel geraden Grades muss \(50-3x\ge0\) gelten. Daher \(x\le\dfrac{50}{3}=16\dfrac23\). Die größte zweistellige ganze Zahl ist \(16\).

Die linke Seite ist stets nichtnegativ, daher gilt die Ungleichung für alle zulässigen \(x\). Definitionsbereich: \(2x+3\ge0\), also \(x\ge-1{,}5\). Somit \(x\in[-1{,}5;+\infty)\). Antwort: E.

Da \(t\mapsto t^3\) streng wächst, dürfen wir beide Seiten kubieren: \(x^3-2x\gt(x+2)^3\). Daraus folgt \(3x^2+7x+4\lt0\), also \((3x+4)(x+1)\lt0\). Somit \(x\in(-\frac43;-1)\). In diesem Intervall liegt keine ganze Zahl. Antwort: B.

Definitionsbereich: \(x\ge\dfrac{20}{9}\). Dort ist die rechte Seite positiv, daher quadrieren wir: \(9x-20\lt x^2\), also \((x-4)(x-5)\gt0\). Somit \(x\lt4\) oder \(x\gt5\). Mit dem Definitionsbereich: \(x\in[\frac{20}{9};4)\cup(5;+\infty)\). Antwort: B.

\(\sqrt{(x^2-5x+6)^2}=|x^2-5x+6|\). Für \(x\le2\) oder \(x\ge3\) reduziert sich die Ungleichung auf \((x-2)^2\gt0\), also \(x\ne2\). Für \(2\lt x\lt3\) erhält man nach Auflösen des Betrags \((x-2)(x-4)\lt0\), was im ganzen Intervall gilt. Daher \((-\infty;2)\cup(2;+\infty)\). Antwort: D.

Definitionsbereich: \((x-4)(x+1)\ge0\) und \((x-2)(x-3)\ge0\). Der Schnitt ist \((-\infty;-1]\cup[4;+\infty)\). Da beide Seiten dort nichtnegativ sind, quadrieren wir: \(x^2-3x-4\lt x^2-5x+6\), also \(x\lt5\). Ergebnis: \((-\infty;-1]\cup[4;5)\). Antwort: B.

Für den Zähler muss \(x-3\ge0\) gelten, also \(x\ge3\). Da die Wurzel im Nenner steht, muss streng \(1-5x\gt0\) gelten, also \(x\lt0{,}2\). Diese Bedingungen sind unvereinbar, daher ist der Definitionsbereich leer. Somit hat die Ungleichung keine Lösung: \(\varnothing\).

Definitionsbereich: \(x\ge1\). Nach dem Umstellen und Kubieren (die Kubikfunktion ist streng wachsend) setzen wir \(t=\sqrt{x-1}\ge0\). Nach Vereinfachung erhält man \(t(t-1)(t-3)\gt0\). Daher \(0\lt t\lt1\) oder \(t\gt3\). Zurück zu \(x\): \(1\lt x\lt2\) oder \(x\gt10\). Die kleinste ganzzahlige Lösung ist \(11\).

Definitionsbereich: \(x\in[-4;4]\). Die Wurzel ist dort nichtnegativ. Das Produkt ist nichtpositiv, wenn \(x\le2\) oder die Wurzel null ist, also bei \(x=\pm4\). Somit \(x\in[-4;2]\cup\{4\}\). Das sind \(8\) ganze Zahlen.