Перенесемо все в одну частину: \(2x(x+2)-5(x+2)=0\). Винесемо спільний множник: \((x+2)(2x-5)=0\). Тому \(x=-2\) або \(x=\dfrac52=2{,}5\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
2
Завдання
Одна правильна відповідь
Якщо \(x+2y-6z=-1\) і \(-y+3z=5\), то \(x=\ldots\)
Розв’язання
Із \(-y+3z=5\) маємо \(y-3z=-5\), тому \(2y-6z=-10\). Підставимо в перше рівняння: \(x-10=-1\), звідки \(x=9\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
3
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\dfrac{2}{x}=5\).
Розв’язання
Область допустимих значень: \(x\ne0\). Помножимо рівняння на \(x\): \(2=5x\), отже \(x=\dfrac25=0{,}4\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
4
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \(||2x-1|-3|=5\). Якщо рівняння має один корінь, запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше одного кореня, запишіть у відповідь добуток усіх коренів.
Розв’язання
Нехай \(u=|2x-1|\ge0\). Тоді \(|u-3|=5\), звідки \(u-3=5\) або \(u-3=-5\). Маємо \(u=8\) або \(u=-2\). Друге неможливе, тому \(|2x-1|=8\). Отже, \(2x-1=8\) або \(2x-1=-8\), тобто \(x_1=4{,}5\), \(x_2=-3{,}5\). Добуток коренів: \(4{,}5\cdot(-3{,}5)=-15{,}75\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
5
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}=2\).
Розв’язання
Помножимо обидві частини на \(6\): \(3x+2x=12\). Тоді \(5x=12\), звідки \(x=\dfrac{12}{5}=2{,}4\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
6
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\dfrac{2x-3}{3}=\dfrac{x+1}{6}\).
Розв’язання
Помножимо обидві частини на \(6\): \(2(2x-3)=x+1\). Маємо \(4x-6=x+1\), тому \(3x=7\) і \(x=\dfrac73\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
7
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(0{,}5(3x-4)=\dfrac{x+1}{4}\).
Розв’язання
Помножимо рівняння на \(4\): \(2(3x-4)=x+1\). Тоді \(6x-8=x+1\), отже \(5x=9\) і \(x=\dfrac95\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
8
Завдання
Одна правильна відповідь
Укажіть суму коренів рівняння \(|x-1|=6\).
Розв’язання
\(|x-1|=6\) дає два рівняння: \(x-1=6\) або \(x-1=-6\). Отже, \(x_1=7\), \(x_2=-5\), а їх сума \(7+(-5)=2\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
9
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \((x^2+2x)(x-1)=0\).
Розв’язання
\((x^2+2x)(x-1)=x(x+2)(x-1)=0\). За властивістю нульового добутку: \(x=0\), \(x=-2\) або \(x=1\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
10
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчисліть добуток коренів рівняння \(x^2+6x-55=0\).
Розв’язання
За теоремою Вієта для рівняння \(x^2+px+q=0\) добуток коренів дорівнює \(q\). Тут \(q=-55\), тому \(x_1x_2=-55\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
11
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\dfrac{|x|}{10}=2\).
Розв’язання
Помножимо обидві частини на \(10\): \(|x|=20\). Тому \(x=-20\) або \(x=20\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
12
Завдання
Одна правильна відповідь
Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння \(0{,}5(x-4)=1{,}5\).
Розв’язання
Помножимо рівняння на \(2\): \(x-4=3\), тому \(x=7\). Число \(7\) належить проміжку \((4;8]\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
13
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(|2x-1|=6\).
Розв’язання
Маємо \(2x-1=6\) або \(2x-1=-6\). Звідси \(x=3{,}5\) або \(x=-2{,}5\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
14
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(4x^2=1\).
Розв’язання
Поділимо на \(4\): \(x^2=\dfrac14\). Отже, \(x=\pm\dfrac12\), тобто \(x=-0{,}5\) або \(x=0{,}5\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
15
Завдання
Одна правильна відповідь
Якщо числа \(x\) і \(y\) задовольняють співвідношення \(2y+4=x\), то \(y=\ldots\)
Розв’язання
Із \(2y+4=x\) маємо \(2y=x-4\). Тому \(y=\dfrac{x-4}{2}\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
16
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(x^2-10=5x+14\).
Розв’язання
Перенесемо все в одну частину: \(x^2-5x-24=0\). Розкладемо: \((x-8)(x+3)=0\). Отже, \(x=-3\) або \(x=8\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
17
Завдання
Одна правильна відповідь
Знайти \(x_1^2+x_2^2\), де \(x_1\) та \(x_2\) — корені рівняння \(x^2-12x+13=0\).
Розв’язання
За теоремою Вієта \(x_1+x_2=12\), \(x_1x_2=13\). Тоді \(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=12^2-2\cdot13=144-26=118\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
18
Завдання
Одна правильна відповідь
Укажіть корінь рівняння \(|x^2-6x|=9\), який належить проміжку \((-2;1]\).
Розв’язання
Маємо два випадки: \(x^2-6x=9\) або \(x^2-6x=-9\). У першому: \(x^2-6x-9=0\), звідки \(x=3\pm3\sqrt2\). У другому: \((x-3)^2=0\), тобто \(x=3\). Із цих коренів лише \(3-3\sqrt2\approx-1{,}24\) належить \((-2;1]\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
19
Завдання
Одна правильна відповідь
Якому проміжку належить корінь рівняння \(2x-3=4\)?
Розв’язання
Із \(2x-3=4\) маємо \(2x=7\), тому \(x=3{,}5\). Це число належить проміжку \([2;4)\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
20
Завдання
Одна правильна відповідь
Яке з наведених чисел є коренем рівняння \(2|x|=2\)?
Розв’язання
Поділимо на \(2\): \(|x|=1\), тому \(x=1\) або \(x=-1\). Серед наведених варіантів є лише \(x=-1\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
21
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \( (x+1)(2x-3)=0 \).
Розв’язання
Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один множник дорівнює нулю: \(x+1=0\) або \(2x-3=0\). Тому \(x=-1\) або \(x=\dfrac32=1{,}5\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
22
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(x^2-8x+15=0\).
Розв’язання
Розкладемо квадратний тричлен: \(x^2-8x+15=(x-3)(x-5)\). Отже, \(x=3\) або \(x=5\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
23
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \(|5-4x|=3\). Якщо рівняння має єдиний корінь, то запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді запишіть їхню суму.
Розв’язання
Маємо \(5-4x=3\) або \(5-4x=-3\). Звідси \(x=0{,}5\) або \(x=2\). Сума коренів: \(0{,}5+2=2{,}5\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
24
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчислити відношення меншого кореня квадратного рівняння \(x^2+5x-6=0\) до його більшого кореня.
Розв’язання
\(x^2+5x-6=(x+6)(x-1)\), тому корені \(-6\) і \(1\). Відношення меншого кореня до більшого: \(-6:1=-6\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
25
Завдання
Одна правильна відповідь
Якщо \(x=t-2\), то \(x^2-t^2=\ldots\)
Розв’язання
Підставимо \(x=t-2\): \(x^2-t^2=(t-2)^2-t^2=t^2-4t+4-t^2=4-4t\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
26
Завдання
Одна правильна відповідь
Яке з наведених чисел є коренем рівняння \(\dfrac{5x+8}{3}=1\)?
Розв’язання
Помножимо на \(3\): \(5x+8=3\). Тоді \(5x=-5\), звідки \(x=-1\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
27
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(x^2-4x+3=0\).
Розв’язання
Розкладемо: \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\). Отже, \(x=1\) або \(x=3\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
28
Завдання
Одна правильна відповідь
Вкажіть число, що є коренем рівняння \(\dfrac{8}{x}=\dfrac25\).
Розв’язання
За основною властивістю пропорції: \(8\cdot5=2x\). Маємо \(40=2x\), тому \(x=20\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
29
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(x^2=25x\).
Розв’язання
Перенесемо все в одну частину: \(x^2-25x=0\). Винесемо \(x\): \(x(x-25)=0\). Тому \(x=0\) або \(x=25\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
30
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\dfrac{x}{10}=2{,}5\).
Розв’язання
Помножимо обидві частини на \(10\): \(x=2{,}5\cdot10=25\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
31
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \(x+4|x|=3\). Якщо рівняння має єдиний корінь, запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді запишіть їхню суму.
Розв’язання
Якщо \(x\ge0\), то \(|x|=x\), тому \(5x=3\) і \(x=0{,}6\). Якщо \(x<0\), то \(|x|=-x\), тому \(x-4x=3\), звідки \(x=-1\). Сума коренів: \(0{,}6+(-1)=-0{,}4\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
32
Завдання
Одна правильна відповідь
Укажіть корінь рівняння \(1-5x=0\).
Розв’язання
\(1-5x=0\Rightarrow 5x=1\Rightarrow x=\dfrac15\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
33
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \(x^4-x^2-20=0\). У відповіді запишіть добуток усіх його дійсних коренів.
Розв’язання
Зробимо заміну \(t=x^2\), де \(t\ge0\). Маємо \(t^2-t-20=0=(t-5)(t+4)\), тому \(t=5\). Отже, \(x=\pm\sqrt5\), а добуток дійсних коренів дорівнює \(-5\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
34
Завдання
Одна правильна відповідь
Обчисліть суму коренів рівняння \(x^2+3x-4=0\).
Розв’язання
За теоремою Вієта сума коренів квадратного рівняння \(x^2+3x-4=0\) дорівнює \(-3\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
35
Завдання
Одна правильна відповідь
Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння \(\dfrac{x}{9-x}=\dfrac12\)?
Розв’язання
ОДЗ: \(x\ne9\). За основною властивістю пропорції \(2x=9-x\), тому \(3x=9\) і \(x=3\). Число \(3\) належить проміжку \((2;5]\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
36
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(2x-3=4\).
Розв’язання
\(2x-3=4\Rightarrow 2x=7\Rightarrow x=3{,}5\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
37
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(x(x-4)=x^2+8\).
Розв’язання
Розкриємо дужки: \(x^2-4x=x^2+8\). Скорочуємо \(x^2\): \(-4x=8\), тому \(x=-2\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
38
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\bigl||5-5x|-|5x-1|\bigr|=3\). У відповідь записати добуток коренів. Якщо коренів безліч, то у відповідь записати число 100, якщо коренів немає, то у відповідь записати число 200.
Розв’язання
Критичні точки для внутрішніх модулів: \(x=0{,}2\) і \(x=1\). На проміжку \([0{,}2;1]\) маємо \(|5-5x|-|5x-1|=6-10x\). Тому \(|6-10x|=3\), звідки \(x=0{,}3\) або \(x=0{,}9\). На інших проміжках вираз під зовнішнім модулем дорівнює за модулем \(4\), тож нових коренів немає. Добуток: \(0{,}3\cdot0{,}9=0{,}27\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
39
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \(x^3+12x^2+44x+48=0\). У відповідь записати суму коренів.
Розв’язання
Перевірка показує, що \(x=-2\) — корінь. Тоді \(x^3+12x^2+44x+48=(x+2)(x^2+10x+24)=(x+2)(x+4)(x+6)\). Корені: \(-2,-4,-6\), їх сума дорівнює \(-12\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
40
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \((a^2-3a-4)x+16=a^2\). У відповідь записати значення параметра \(a\), за якого рівняння має безліч коренів.
Розв’язання
Перепишемо рівняння: \((a-4)(a+1)x=(a-4)(a+4)\). Щоб рівняння мало безліч коренів, обидві частини після перенесення мають давати тотожність \(0x=0\). При \(a=4\) маємо саме \(0x=0\). При \(a=-1\) отримуємо \(0x=-15\), тобто коренів немає. Отже, \(a=4\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
