Тема 17 — завдання

1

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть нерівність \(2^x\le3\).

А \((-\infty;\log_2 3]\) Б \((0;\log_2 3]\) В \((-\infty;\dfrac32]\) Г \((-\infty;\log_3 2]\) Д \([\log_2 3;+\infty)\)

Розв’язання

Оскільки функція \(2^x\) зростає, нерівність \(2^x\le3\) рівносильна \(x\le\log_2 3\). Отже, \(x\in(-\infty;\log_2 3]\). Відповідь: А.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

2

Завдання Числова відповідь

Розв’яжіть нерівність \(\lg\dfrac4{2x-3}\ge0\). У відповідь запишіть найбільший розв’язок цієї нерівності. Якщо найбільшого розв’язку не існує, запишіть \(100\).

Ваша відповідь

Розв’язання

Оскільки \(\lg t\ge0\) при \(t\ge1\), маємо \(\dfrac4{2x-3}\ge1\). При цьому аргумент логарифма має бути додатним, отже \(2x-3\gt0\). Тому \(0\lt2x-3\le4\), звідки \(1{,}5\lt x\le3{,}5\). Найбільший розв’язок — \(3{,}5\).

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

3

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть нерівність \(\log_3x\lt-1\).

А \((\dfrac13;+\infty)\) Б \((-\infty;\dfrac13)\) В \((-\dfrac13;0)\) Г \((0;\dfrac13)\) Д \((-\infty;-3)\)

Розв’язання

Запишемо \(-1=\log_3\dfrac13\). Оскільки основа \(3\gt1\), логарифмічна функція зростає. З урахуванням ОДЗ \(x\gt0\) маємо \(0\lt x\lt\dfrac13\). Отже, \(x\in(0;\dfrac13)\). Відповідь: Г.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

4

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть нерівність \(\log_{\frac15}x\gt2\).

А \((-\infty;\dfrac1{25})\) Б \((\dfrac1{25};+\infty)\) В \((0;\dfrac1{25})\) Г \((10;+\infty)\) Д \((-\infty;\dfrac1{10})\)

Розв’язання

Запишемо \(2=\log_{\frac15}\dfrac1{25}\). Оскільки основа \(\dfrac15\lt1\), логарифмічна функція спадна, тому знак при порівнянні аргументів змінюється: \(x\lt\dfrac1{25}\). З урахуванням ОДЗ \(x\gt0\) маємо \(x\in(0;\dfrac1{25})\). Відповідь: В.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

5

Завдання Числова відповідь

Розв’яжіть нерівність \(x^2+2^{\log_2(-2x)}-15\lt0\). У відповідь запишіть суму всіх цілих розв’язків цієї нерівності.

Ваша відповідь

Розв’язання

ОДЗ: \(-2x\gt0\), тобто \(x\lt0\). На ОДЗ \(2^{\log_2(-2x)}=-2x\), тому маємо \(x^2-2x-15\lt0\). Розкладемо: \((x+3)(x-5)\lt0\), звідки \(-3\lt x\lt5\). Перетин з ОДЗ: \(-3\lt x\lt0\). Цілі розв’язки: \(-2,-1\), їх сума \(-3\).

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

6

Завдання Числова відповідь

Знайдіть кількість усіх цілих розв’язків нерівності \(\log_{\frac14}(x^2+6x)\ge-2\). Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, запишіть \(100\).

Ваша відповідь

Розв’язання

ОДЗ: \(x^2+6x\gt0\). Оскільки основа \(\dfrac14\lt1\), з \(\log_{\frac14}(x^2+6x)\ge-2\) маємо \(x^2+6x\le(\dfrac14)^{-2}=16\). Отже, потрібно одночасно \(0\lt x^2+6x\le16\). Перша умова дає \(x\lt-6\) або \(x\gt0\). Друга: \(x^2+6x-16\le0\), тобто \(-8\le x\le2\). Перетин: \([-8;-6)\cup(0;2]\). Цілі розв’язки: \(-8,-7,1,2\), усього \(4\).

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

7

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть нерівність \(\log_{0{,}5}(x-1)\gt2\).

А \((1;1{,}25)\) Б \((2;+\infty)\) В \((1{,}25;+\infty)\) Г \((0;0{,}25)\) Д \((-\infty;1{,}25)\)

Розв’язання

ОДЗ: \(x-1\gt0\), тобто \(x\gt1\). Оскільки \(0{,}5\lt1\), логарифмічна функція спадна. З \(\log_{0{,}5}(x-1)\gt2=\log_{0{,}5}0{,}25\) маємо \(x-1\lt0{,}25\), тобто \(x\lt1{,}25\). Отже, \(x\in(1;1{,}25)\). Відповідь: А.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

8

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть нерівність \(3+\log_2x\ge0\).

А \([\dfrac18;+\infty)\) Б \((0;\dfrac18]\) В \((-\infty;\dfrac18]\) Г \([8;+\infty)\) Д \([-6;+\infty)\)

Розв’язання

Нерівність рівносильна \(\log_2x\ge-3\). Запишемо \(-3=\log_2\dfrac18\). Оскільки основа \(2\gt1\), маємо \(x\ge\dfrac18\). Отже, \(x\in[\dfrac18;+\infty)\). Відповідь: А.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

9

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть нерівність \(\log_{0{,}1}10\lt\log_{0{,}1}x\).

А \((10;+\infty)\) Б \((0;10)\) В \((0{,}1;10)\) Г \((-10;0)\) Д \((-\infty;10)\)

Розв’язання

ОДЗ: \(x\gt0\). Оскільки основа \(0{,}1\lt1\), логарифмічна функція спадна. Тому з \(\log_{0{,}1}10\lt\log_{0{,}1}x\) випливає \(10\gt x\). Разом з ОДЗ: \(0\lt x\lt10\). Відповідь: Б.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

10

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть нерівність \(\log_{0{,}5}5\lt\log_{0{,}5}x\).

А \((-5;0)\) Б \((0;5)\) В \((5;+\infty)\) Г \((0{,}5;5)\) Д \((-\infty;5)\)

Розв’язання

ОДЗ: \(x\gt0\). Оскільки основа \(0{,}5\lt1\), логарифмічна функція спадна. Тому з \(\log_{0{,}5}5\lt\log_{0{,}5}x\) маємо \(5\gt x\). Отже, \(x\in(0;5)\). Відповідь: Б.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

11

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть нерівність \(\log_{0{,}7}x\gt1\).

А \((0{,}7;+\infty)\) Б \((-\infty;0{,}7)\) В \((1;+\infty)\) Г \((0{,}7;1)\) Д \((0;0{,}7)\)

Розв’язання

ОДЗ: \(x\gt0\). Маємо \(1=\log_{0{,}7}0{,}7\). Оскільки основа \(0{,}7\lt1\), логарифмічна функція спадна, тому \(x\lt0{,}7\). Разом з ОДЗ: \(x\in(0;0{,}7)\). Відповідь: Д.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

12

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть нерівність \(\log_{0{,}9}(3x)\gt2\).

А \((-\infty;0{,}27)\) Б \((-\infty;0{,}6)\) В \((0{,}27;+\infty)\) Г \((0{,}6;+\infty)\) Д \((0;0{,}27)\)

Розв’язання

ОДЗ: \(3x\gt0\), тобто \(x\gt0\). Запишемо \(2=\log_{0{,}9}(0{,}9)^2=\log_{0{,}9}0{,}81\). Оскільки основа менша за \(1\), маємо \(3x\lt0{,}81\), звідки \(x\lt0{,}27\). Отже, \(x\in(0;0{,}27)\). Відповідь: Д.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

13

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть нерівність \(\log_{0{,}3}(x+3)\gt\log_{0{,}3}4\).

А \((1;+\infty)\) Б \((7;+\infty)\) В \((-\infty;1)\) Г \((0;1)\) Д \((-3;1)\)

Розв’язання

ОДЗ: \(x+3\gt0\), тобто \(x\gt-3\). Оскільки \(0{,}3\lt1\), логарифмічна функція спадна, тому \(x+3\lt4\), звідки \(x\lt1\). Отже, \(x\in(-3;1)\). Відповідь: Д.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

14

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть нерівність \(\log_{0{,}2}(x+4)\gt\log_{0{,}2}5\).

А \((1;+\infty)\) Б \((-\infty;1)\) В \((-4;1)\) Г \((9;+\infty)\) Д \((0;1)\)

Розв’язання

ОДЗ: \(x+4\gt0\), тобто \(x\gt-4\). Оскільки основа \(0{,}2\lt1\), функція спадна, тому \(x+4\lt5\), звідки \(x\lt1\). Отже, \(x\in(-4;1)\). Відповідь: В.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

15

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть нерівність \(\log_3(1-2x)\lt2\).

А \((0;\dfrac12)\) Б \((-4;\dfrac12)\) В \((\dfrac12;+\infty)\) Г \((-4;0)\) Д \((-\infty;-4)\)

Розв’язання

ОДЗ: \(1-2x\gt0\), тобто \(x\lt\dfrac12\). Оскільки основа \(3\gt1\), маємо \(1-2x\lt9\). Звідси \(-2x\lt8\), тобто \(x\gt-4\). Перетин: \(x\in(-4;\dfrac12)\). Відповідь: Б.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

16

Завдання Одна правильна відповідь

Використовуючи рисунок, розв’яжіть нерівність \(\log_2x\lt b\).

А \((0;2^b)\) Б \((0;b)\) В \((-\infty;2^b)\) Г \((\log_2b;+\infty)\) Д \((-\infty;b)\)

Розв’язання

Функція \(y=\log_2x\) зростає. Пряма \(y=b\) перетинає її в точці з абсцисою \(x=2^b\). Нижче прямої \(y=b\) графік логарифма розташований при \(0\lt x\lt2^b\). Отже, \(x\in(0;2^b)\). Відповідь: А.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

17

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть нерівність \(\log_3(2x-1)\lt2\).

А \((0{,}5;5)\) Б \((-\infty;3{,}5)\) В \((0{,}5;3{,}5)\) Г \((-\infty;5)\) Д \((0{,}5;+\infty)\)

Розв’язання

ОДЗ: \(2x-1\gt0\), тобто \(x\gt0{,}5\). Оскільки основа \(3\gt1\), маємо \(2x-1\lt9\), звідки \(x\lt5\). Отже, \(x\in(0{,}5;5)\). Відповідь: А.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

18

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть нерівність \(\log_4(2x-2)\lt2\).

А \((-\infty;7)\) Б \((1;9)\) В \((1;7)\) Г \((-\infty;9)\) Д \((1;+\infty)\)

Розв’язання

ОДЗ: \(2x-2\gt0\), тобто \(x\gt1\). Оскільки основа \(4\gt1\), маємо \(2x-2\lt16\), звідки \(x\lt9\). Отже, \(x\in(1;9)\). Відповідь: Б.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

19

Завдання Одна правильна відповідь

Розв’яжіть нерівність \(3+\log_2x\lt\log_2 48\).

А \((-\infty;6)\) Б \((0;16)\) В \((0;40)\) Г \((0;6)\) Д \((-\infty;40)\)

Розв’язання

ОДЗ: \(x\gt0\). Запишемо \(3=\log_2 8\). Тоді \(\log_2 8+\log_2x\lt\log_2 48\), тобто \(\log_2(8x)\lt\log_2 48\). Оскільки основа \(2\gt1\), маємо \(8x\lt48\), звідки \(x\lt6\). Разом з ОДЗ: \(x\in(0;6)\). Відповідь: Г.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

20

Завдання Установлення відповідності

Розв’яжіть нерівності (1–4). Кожній нерівності поставте у відповідність множину всіх її розв’язків (А–Д).

А \((-\infty;2)\) Б \((-2;2)\) В \((0;2)\) Г \((-\infty;-2)\) Д \((2;+\infty)\)

1. \(5^{x-2}\gt1\) 2. \(-\dfrac2{x+2}\gt0\) 3. \(\log_2x\lt1\) 4. \(x^2\lt4\)

Розв’язання

1) \(5^{x-2}\gt1=5^0\Rightarrow x\gt2\) — Д. 2) \(-\dfrac2{x+2}\gt0\Rightarrow x+2\lt0\Rightarrow x\lt-2\) — Г. 3) \(\log_2x\lt1=\log_2 2\), з урахуванням ОДЗ \(x\gt0\): \(0\lt x\lt2\) — В. 4) \(x^2\lt4\Rightarrow -2\lt x\lt2\) — Б. Отже: **1–Д, 2–Г, 3–В, 4–Б**.

Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.

Логарифмічні нерівності