\(\dfrac1{36}=6^{-2}\). Оскільки основа \(6\gt1\), функція \(6^x\) зростає. Тому \(6^x\lt6^{-2}\) рівносильно \(x\lt-2\). Отже, \(x\in(-\infty;-2)\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
Поділимо на \(2\): \((0{,}3)^x\lt0{,}09\). Маємо \(0{,}09=(0{,}3)^2\). Оскільки \(0{,}3\lt1\), показникова функція спадна, тому \((0{,}3)^x\lt(0{,}3)^2\) при \(x\gt2\). Отже, \(x\in(2;+\infty)\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
3
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть нерівність \(3\cdot9^x-2\cdot15^x-5^{2x+1}\gt0\). Якщо нерівність має цілі розв’язки, у відповідь запишіть найбільший із них. Якщо нерівність має розв’язки, але вказати найбільший цілий розв’язок неможливо, запишіть \(50\). Якщо нерівність не має розв’язків, запишіть \(100\).
Розв’язання
Оскільки \(25^x\gt0\), поділимо нерівність на \(25^x\): \(3\left(\dfrac35\right)^{2x}-2\left(\dfrac35\right)^x-5\gt0\). Позначимо \(t=\left(\dfrac35\right)^x\gt0\). Маємо \(3t^2-2t-5\gt0\), тобто \((3t-5)(t+1)\gt0\). З урахуванням \(t\gt0\): \(t\gt\dfrac53\). Але \(\dfrac53=\left(\dfrac35\right)^{-1}\), а основа \(\dfrac35\lt1\), тому \(x\lt-1\). Найбільший цілий розв’язок — \(-2\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
4
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть систему нерівностей \(\begin{cases}(0{,}5)^{1-2x}\gt(0{,}5)^{8+x},\\\dfrac4{x-5}\lt0.\end{cases}\) У відповідь запишіть кількість усіх цілих розв’язків цієї системи. Якщо система має безліч цілих розв’язків, запишіть \(100\).
Розв’язання
Оскільки \(0{,}5\lt1\), перша нерівність рівносильна \(1-2x\lt8+x\), звідки \(x\gt-\dfrac73\). Друга нерівність: чисельник додатний, тому потрібно \(x-5\lt0\), тобто \(x\lt5\). Отже, \(-\dfrac73\lt x\lt5\). Цілі розв’язки: \(-2,-1,0,1,2,3,4\), усього \(7\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
\(\dfrac1{25}=\left(\dfrac15\right)^2\). Оскільки основа \(\dfrac15\lt1\), функція спадна. Тому \(\left(\dfrac15\right)^x\le\left(\dfrac15\right)^2\) при \(x\ge2\). Отже, \(x\in[2;+\infty)\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
\(\left(\dfrac4\pi\right)^3=\left(\dfrac\pi4\right)^{-3}\). Оскільки \(0\lt\dfrac\pi4\lt1\), функція спадна. Тому \(\left(\dfrac\pi4\right)^x\lt\left(\dfrac\pi4\right)^{-3}\) при \(x\gt-3\). Отже, \(x\in(-3;+\infty)\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
7
Завдання
Одна правильна відповідь
Використовуючи зображені на рисунку графіки функцій, розв’яжіть нерівність \(2^x\gt-x+3\).
Розв’язання
Графіки \(y=2^x\) і \(y=-x+3\) перетинаються при \(x=1\). Праворуч від цієї точки графік \(y=2^x\) розташований вище графіка \(y=-x+3\). Отже, \(x\gt1\), тобто \(x\in(1;+\infty)\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
\(1=\left(\dfrac13\right)^0\). Оскільки основа \(\dfrac13\lt1\), функція спадна. Тому \(\left(\dfrac13\right)^x\gt\left(\dfrac13\right)^0\) при \(x\lt0\). Отже, \(x\in(-\infty;0)\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
\(\dfrac37=\left(\dfrac37\right)^1\). Оскільки \(\dfrac37\lt1\), функція спадна. Тому \(x-5\lt1\), звідки \(x\lt6\). Отже, \(x\in(-\infty;6)\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
10
Завдання
Одна правильна відповідь
Яке з наведених чисел є розв’язком подвійної нерівності \(5\le3^x\le15\)?
Розв’язання
Перевіримо запропоновані значення. Для \(x=2\): \(3^2=9\), а \(5\le9\le15\). Отже, число \(2\) задовольняє нерівність. Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
11
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(2^{4x-5}\ge2\).
Розв’язання
\(2=2^1\). Оскільки основа \(2\gt1\), показникова функція зростає, тому \(4x-5\ge1\). Звідси \(4x\ge6\), тобто \(x\ge\dfrac32=1{,}5\). Отже, \(x\in[1{,}5;+\infty)\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
12
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть нерівність \(\dfrac{10^x-16\cdot5^x}{x+2}\ge0\). У відповідь запишіть суму всіх цілих розв’язків нерівності на проміжку \([-3;7]\).
Розв’язання
Винесемо \(5^x\gt0\): \[\frac{10^x-16\cdot5^x}{x+2}=5^x\frac{2^x-16}{x+2}.\] Тому знак визначає дріб \(\dfrac{2^x-16}{x+2}\). Критичні точки: \(x=-2\) — знаменник дорівнює нулю, \(x=4\) — чисельник дорівнює нулю. Метод інтервалів дає \(x\in(-\infty;-2)\cup[4;+\infty)\). На \([-3;7]\) маємо цілі розв’язки \(-3,4,5,6,7\). Їх сума: \(-3+4+5+6+7=19\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
13
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть нерівність \(\left(\dfrac12\right)^{x^2-x}\gt8^{x-5}\). У відповідь запишіть суму всіх цілих розв’язків цієї нерівності. Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, запишіть \(100\).
Розв’язання
Зведемо обидві частини до основи \(2\): \(2^{-x^2+x}\gt2^{3x-15}\). Оскільки \(2^t\) зростає, маємо \(-x^2+x\gt3x-15\). Отже, \(x^2+2x-15\lt0\), тобто \((x+5)(x-3)\lt0\). Звідси \(-5\lt x\lt3\). Цілі розв’язки: \(-4,-3,-2,-1,0,1,2\). Їх сума дорівнює \(-7\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
14
Завдання
Установлення відповідності
Розв’яжіть нерівності (1–4). Кожній нерівності поставте у відповідність множину всіх її розв’язків (А–Д).
А
\((-\infty;2)\) Б
\((-2;2)\) В
\((0;2)\) Г
\((-\infty;-2)\) Д
\((2;+\infty)\)
Розв’язання
1) \(5^{x-2}\gt1=5^0\). Оскільки \(5\gt1\), маємо \(x-2\gt0\), тобто \(x\gt2\) — Д.
2) \(-\dfrac2{x+2}\gt0\). Чисельник від’ємний, тому знаменник має бути від’ємним: \(x+2\lt0\), тобто \(x\lt-2\) — Г.
3) \(\log_2x\lt1=\log_2 2\). За умови \(x\gt0\) та зростання логарифмічної функції: \(0\lt x\lt2\) — В.
4) \(x^2\lt4\), тобто \((x-2)(x+2)\lt0\), звідки \(-2\lt x\lt2\) — Б.
Отже: **1–Д, 2–Г, 3–В, 4–Б**.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
15
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(2^x\le3\).
Розв’язання
Оскільки функція \(2^x\) зростає, нерівність \(2^x\le3\) рівносильна \(x\le\log_2 3\). Отже, \(x\in(-\infty;\log_2 3]\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
16
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(3^x\lt27\cdot3^{-x}\).
Розв’язання
\(27\cdot3^{-x}=3^{3-x}\). Тому \(3^x\lt3^{3-x}\). Оскільки основа \(3\gt1\), маємо \(x\lt3-x\), тобто \(2x\lt3\) і \(x\lt\dfrac32\). Отже, \(x\in(-\infty;\dfrac32)\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
17
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(10^{x+1}\gt0{,}01\).
Розв’язання
\(0{,}01=10^{-2}\). Оскільки \(10^x\) зростає, маємо \(x+1\gt-2\), звідки \(x\gt-3\). Отже, \(x\in(-3;+\infty)\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
18
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(4\cdot3^x\lt3^x+6\).
Розв’язання
Переносимо \(3^x\) вліво: \(3\cdot3^x\lt6\). Отже, \(3^x\lt2\). Оскільки функція \(3^x\) зростає, маємо \(x\lt\log_3 2\). Отже, \(x\in(-\infty;\log_3 2)\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
19
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(0{,}5^{2x+7}\le4\).
Розв’язання
\(4=(0{,}5)^{-2}\). Оскільки основа \(0{,}5\lt1\), функція спадна, тому \(2x+7\ge-2\). Звідси \(2x\ge-9\), тобто \(x\ge-4{,}5\). Отже, \(x\in[-4{,}5;+\infty)\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
Винесемо \(5^{8x-1}\): \[5^{8x-1}(5^2+1)\lt130.\] Маємо \(26\cdot5^{8x-1}\lt130\), тобто \(5^{8x-1}\lt5=5^1\). Оскільки основа \(5\gt1\), \(8x-1\lt1\). Звідси \(8x\lt2\), тобто \(x\lt\dfrac14=0{,}25\). Отже, \(x\in(-\infty;0{,}25)\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
ОДЗ: \(x\ne0\). Позначимо \(a=2^{\frac1x}\gt0\). Тоді \(4^{\frac{x+1}{x}}=4\cdot4^{\frac1x}=4a^2\). Маємо \(4a^2-17a+4\gt0\). Корені квадратного тричлена: \(a_1=\dfrac14\), \(a_2=4\), тому \(a\lt\dfrac14\) або \(a\gt4\). Повертаємося до заміни: \(2^{1/x}\lt2^{-2}\Rightarrow \dfrac1x\lt-2\Rightarrow x\in(-\dfrac12;0)\); або \(2^{1/x}\gt2^2\Rightarrow \dfrac1x\gt2\Rightarrow x\in(0;\dfrac12)\). Отже, \(x\in(-\dfrac12;0)\cup(0;\dfrac12)\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
22
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть нерівність \(3^{x-3}\gt5^{x^2-7x+12}\). У відповідь запишіть найменший цілий розв’язок нерівності.
Розв’язання
Прологарифмуємо обидві частини за основою \(5\): \((x-3)\log_5 3\gt x^2-7x+12=(x-3)(x-4)\). Перенесемо все в одну сторону: \((x-3)(x-4-\log_5 3)\lt0\). Тому \(3\lt x\lt4+\log_5 3\). Оскільки \(0\lt\log_5 3\lt1\), найменший цілий розв’язок — \(4\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
23
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть нерівність \(\left(\sqrt{4+\sqrt{15}}\right)^x+\left(\sqrt{4-\sqrt{15}}\right)^x\lt8\). У відповідь запишіть найбільший цілий розв’язок нерівності.
Розв’язання
Оскільки \(\sqrt{4+\sqrt{15}}\cdot\sqrt{4-\sqrt{15}}=1\), позначимо \(t=\left(\sqrt{4+\sqrt{15}}\right)^x\gt0\). Тоді друга степенева функція дорівнює \(\dfrac1t\), і маємо \(t+\dfrac1t\lt8\). Після множення на \(t\gt0\): \(t^2-8t+1\lt0\), звідки \(4-\sqrt{15}\lt t\lt4+\sqrt{15}\). Але \(4+\sqrt{15}=\left(\sqrt{4+\sqrt{15}}\right)^2\), а \(4-\sqrt{15}=\left(\sqrt{4+\sqrt{15}}\right)^{-2}\). Тому \(-2\lt x\lt2\). Найбільший цілий розв’язок — \(1\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
24
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть нерівність \(3^{1+\sqrt{x+1}}+3^{2-\sqrt{x+1}}\ge28\). У відповідь запишіть найменший цілий розв’язок нерівності.
Розв’язання
ОДЗ: \(x\ge-1\). Позначимо \(t=3^{\sqrt{x+1}}\). Тоді \(t\ge1\), а нерівність набуває вигляду \(3t+\dfrac9t\ge28\). Помножимо на \(t\gt0\): \(3t^2-28t+9\ge0\), тобто \(3(t-\dfrac13)(t-9)\ge0\). Звідси \(t\le\dfrac13\) або \(t\ge9\). Перший випадок неможливий, бо \(t\ge1\). Тому \(3^{\sqrt{x+1}}\ge3^2\), звідки \(\sqrt{x+1}\ge2\) і \(x\ge3\). Найменший цілий розв’язок — \(3\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
\(3^x\cdot5^x=15^x\), а \(\dfrac1{15}=15^{-1}\). Оскільки \(15\gt1\), функція \(15^x\) зростає. Тому \(15^x\le15^{-1}\) рівносильно \(x\le-1\). Отже, \(x\in(-\infty;-1]\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
26
Завдання
Одна правильна відповідь
Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності \(5^{-x}\gt25\)?
Розв’язання
\(25=5^2\). Оскільки основа \(5\gt1\), з \(5^{-x}\gt5^2\) маємо \(-x\gt2\), тобто \(x\lt-2\). Із наведених чисел цю умову задовольняє лише \(-3\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
27
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть систему нерівностей \(\begin{cases}5^x\lt25,\\2-x\lt8.\end{cases}\)
Розв’язання
Перша нерівність: \(5^x\lt25=5^2\), тому \(x\lt2\). Друга: \(2-x\lt8\Rightarrow-x\lt6\Rightarrow x\gt-6\). Отже, спільний розв’язок: \(-6\lt x\lt2\), тобто \((-6;2)\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
28
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть систему нерівностей \(\begin{cases}\left(\dfrac13\right)^x\lt81,\\|x|\le5.\end{cases}\)
Розв’язання
\(81=3^4=\left(\dfrac13\right)^{-4}\). Оскільки основа \(\dfrac13\lt1\), з \(\left(\dfrac13\right)^x\lt\left(\dfrac13\right)^{-4}\) маємо \(x\gt-4\). Друга нерівність дає \(-5\le x\le5\). Перетин: \((-4;5]\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
\(\dfrac1{25}=\left(\dfrac15\right)^2\). Оскільки основа \(\dfrac15\lt1\), показникова функція спадна, тому знак при порівнянні показників змінюється: \(x\lt2\). Отже, \(x\in(-\infty;2)\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
30
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть нерівність \(8^x\gt\dfrac1{64}\).
Розв’язання
\(8=2^3\), а \(\dfrac1{64}=2^{-6}\). Тому \(2^{3x}\gt2^{-6}\). Оскільки основа \(2\gt1\), маємо \(3x\gt-6\), звідки \(x\gt-2\). Отже, \(x\in(-2;+\infty)\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
