Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння \(\sqrt{1-x}=4\).
Розв’язання
Піднесемо обидві частини до квадрата: \(1-x=16\), звідки \(x=-15\). Число \(-15\) належить проміжку \((-20;-10)\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
2
Завдання
Одна правильна відповідь
Скільки коренів має рівняння \(3\sqrt[8]{2x-9}-\sqrt{4-x}=1\)?
Розв’язання
Для існування коренів потрібно одночасно \(2x-9\ge0\) і \(4-x\ge0\). Тобто \(x\ge\frac92\) та \(x\le4\), що неможливо. ОДЗ порожня, тому рівняння не має коренів. Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
3
Завдання
Одна правильна відповідь
Скільки коренів має рівняння \(\sqrt[3]{x-3}=\sqrt{-2-x}\)?
Розв’язання
ОДЗ визначається квадратним коренем: \(x\le-2\). На цій множині \(x-3\lt0\), тому \(\sqrt[3]{x-3}\lt0\), а \(\sqrt{-2-x}\ge0\). Рівність неможлива, отже коренів немає. Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
4
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{x+3}=0\).
Розв’язання
ОДЗ: \(x\ge-3\). Нехай \(t=\sqrt{x+3}\ge0\), тоді \(x=t^2-3\). Рівняння дає \(\sqrt[3]{t^2+4}=t\), тому \(t^3=t^2+4\). Маємо \(t^3-t^2-4=(t-2)(t^2+t+2)=0\). Єдиний невід’ємний корінь \(t=2\), звідки \(x=1\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
5
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\sqrt[3]{x+3}+\sqrt{5-x}=2\). У відповідь запишіть суму коренів рівняння.
Розв’язання
Нехай \(a=\sqrt[3]{x+3}\), \(b=\sqrt{5-x}\ge0\). Тоді \(a+b=2\), а \(a^3+b^2=(x+3)+(5-x)=8\). Підставивши \(b=2-a\), дістаємо \(a^3+a^2-4a-4=0\), тобто \((a+1)(a-2)(a+2)=0\). Звідси \(x=-4,5,-11\). Сума коренів: \(-10\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
6
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\sqrt{x-2}\sqrt{2x+1}=\sqrt3\). Якщо рівняння має один корінь, запишіть його у відповідь. Якщо має більше одного кореня — запишіть добуток усіх коренів. Якщо коренів немає — запишіть \(100\).
Розв’язання
ОДЗ: \(x\ge2\). Піднесемо обидві частини до квадрата: \((x-2)(2x+1)=3\). Отримаємо \(2x^2-3x-5=0\), звідки \(x_1=2{,}5\), \(x_2=-1\). Другий корінь не належить ОДЗ. Відповідь: \(2{,}5\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
7
Завдання
Одна правильна відповідь
Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння \(\sqrt[3]{2x}=-3\)?
Розв’язання
Піднесемо обидві частини до куба: \(2x=-27\), тому \(x=-13{,}5\). Це число належить проміжку \((-20;-10)\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
8
Завдання
Одна правильна відповідь
Якщо \(\sqrt{x}+y=5\) і \(2\sqrt{x}-y=7\), то \(y\) дорівнює:
Розв’язання
Додамо рівняння: \(3\sqrt{x}=12\), звідки \(\sqrt{x}=4\). Тоді з першого рівняння \(y=5-4=1\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
9
Завдання
Числова відповідь
Графік функції \(y=\sqrt{2x^2+x+1}\) проходить через точку \((x_0;4)\), де \(x_0\gt0\). Обчисліть \(x_0\).
Розв’язання
Підставимо координати точки: \(4=\sqrt{2x_0^2+x_0+1}\). Після піднесення до квадрата: \(2x_0^2+x_0-15=0\). Корені: \(x_0=2{,}5\) і \(x_0=-3\). За умовою \(x_0\gt0\), тому \(x_0=2{,}5\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
10
Завдання
Одна правильна відповідь
Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння \(\sqrt{6-4x}=4\).
Розв’язання
Піднесемо обидві частини до квадрата: \(6-4x=16\). Звідси \(-4x=10\), тобто \(x=-2{,}5\). Це число належить проміжку \([-3;-1)\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
11
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \(x-5+\sqrt{2x^2-14x+13}=0\). Якщо рівняння має кілька коренів, у відповідь запишіть їх добуток.
Розв’язання
Маємо \(\sqrt{2x^2-14x+13}=5-x\), тому необхідно \(x\le5\). Після піднесення до квадрата: \(2x^2-14x+13=(5-x)^2\), звідки \(x^2-4x-12=0\). Отримуємо \(x=6\) або \(x=-2\). Умову \(x\le5\) задовольняє лише \(x=-2\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
12
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \((x^2-9)\sqrt{-15+8x-x^2}=0\). У відповідь запишіть суму коренів.
Розв’язання
ОДЗ: \(-15+8x-x^2\ge0\), тобто \(x\in[3;5]\). Добуток дорівнює нулю, якщо \(x^2-9=0\) або \(-15+8x-x^2=0\). З урахуванням ОДЗ корені: \(x=3\) і \(x=5\). Їх сума дорівнює \(8\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
13
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(4\sqrt{x}=1\).
Розв’язання
\(\sqrt{x}=\dfrac14\). Після піднесення до квадрата маємо \(x=\dfrac1{16}\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
14
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\sqrt{3x+7}=x-7\).
Розв’язання
Права частина має бути невід’ємною, тому \(x\ge7\). Після піднесення до квадрата: \(3x+7=(x-7)^2\), тобто \(x^2-17x+42=0\). Кандидати: \(3\) і \(14\). Умову \(x\ge7\) задовольняє лише \(14\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
15
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\sqrt{x+3}+\sqrt{4x-23}-\sqrt{x+10}=0\).
Розв’язання
ОДЗ: \(x\ge\dfrac{23}{4}\). Перенесемо третій корінь вправо й піднесемо до квадрата: \(4x-20+2\sqrt{(x+3)(4x-23)}=x+10\). Звідси \(\sqrt{(x+3)(4x-23)}=15-2x\), тому також \(x\le7{,}5\). Після повторного піднесення до квадрата отримуємо \(49x=294\), тобто \(x=6\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
16
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(2x^{\frac12}-5x^{\frac14}=3\).
Розв’язання
Позначимо \(t=x^{\frac14}\), де \(t\ge0\). Тоді \(x^{\frac12}=t^2\), і маємо \(2t^2-5t-3=0\). Звідси \(t=3\) або \(t=-\dfrac12\). Допустиме лише \(t=3\), тому \(x=t^4=81\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
17
Завдання
Числова відповідь
При якому найбільшому від’ємному значенні параметра \(a\) рівняння \(\sqrt[4]{|x|-1}-2x=a\) має один корінь?
Розв’язання
Для від’ємного \(a\) корені можливі лише на гілці \(x\ge1\), де \(f(x)=(x-1)^{1/4}-2x\). Найбільше від’ємне значення \(a\), за якого горизонтальна пряма має одну спільну точку з графіком, дорівнює максимуму цієї гілки. \(f'(x)=\dfrac{1}{4(x-1)^{3/4}}-2=0\), звідки \(x=\dfrac{17}{16}\). Тоді \(a=f\!\left(\dfrac{17}{16}\right)=\dfrac12-\dfrac{17}{8}=-\dfrac{13}{8}=-1{,}625\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
18
Завдання
Числова відповідь
При якому найменшому значенні \(a\) рівняння \(\sqrt{x-2+2\sqrt{x-3}}+(14-2a)\sqrt[4]{x-3}+32=6a\) має хоча б один корінь?
Розв’язання
ОДЗ: \(x\ge3\). Нехай \(t=\sqrt[4]{x-3}\ge0\). Тоді \(\sqrt{x-3}=t^2\), а \(\sqrt{x-2+2\sqrt{x-3}}=\sqrt{(t^2+1)^2}=t^2+1\). Рівняння переходить у \(t^2+(14-2a)t+33-6a=0\), тобто \((t+3)(t+11-2a)=0\). Корінь \(t=-3\) недопустимий, тому потрібно \(t=2a-11\ge0\). Отже, \(a\ge5{,}5\), і найменше значення — \(5{,}5\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
19
Завдання
Числова відповідь
При якому найменшому цілому значенні параметра \(a\) рівняння \(\sqrt{2x+15}\left(\sqrt{x^2+18x+81}-\sqrt{x^2-10x+25}\right)=a\sqrt{2x+15}\) має лише два різні корені?
Розв’язання
ОДЗ: \(x\ge-7{,}5\). Маємо \(\sqrt{x^2+18x+81}=|x+9|\) і \(\sqrt{x^2-10x+25}=|x-5|\). Тому один корінь \(x=-7{,}5\) існує для будь-якого \(a\), а інші визначаються рівнянням \(|x+9|-|x-5|=a\). На ОДЗ ця функція дорівнює \(2x+4\) для \(-7{,}5\le x\le5\) і \(14\) для \(x\ge5\). Щоб був рівно один додатковий корінь, потрібно \(-11\lt a\lt14\). Найменше ціле \(a\) — \(-10\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
20
Завдання
Числова відповідь
Знайдіть найменше ціле значення параметра \(a\), при якому рівняння \(\sqrt{x^2-5x}+\sqrt{x^2-9x+20}=\sqrt{a}\,\sqrt{x-5}\) має два корені.
Розв’язання
ОДЗ дає \(x\ge5\) і \(a\ge0\). Значення \(x=5\) є коренем для будь-якого допустимого \(a\). Для \(x\gt5\) ділимо на \(\sqrt{x-5}\) і дістаємо \(\sqrt{x}+\sqrt{x-4}=\sqrt a\). Ліва частина строго зростає, а при \(x\to5+\) прямує до \(\sqrt5+1\). Отже, другий корінь існує тоді й лише тоді, коли \(\sqrt a\gt\sqrt5+1\), тобто \(a\gt6+2\sqrt5\approx10{,}47\). Найменше ціле значення \(a=11\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
