Укажіть найменше значення \(a\), при якому рівняння \(\dfrac{x^2-x+a}{2x+3}=0\) має рівно один корінь.
Розв’язання
Маємо \(x^2-x+a=0\), причому \(x\ne-\dfrac32\). Рівно один корінь можливий у двох випадках. Якщо дискримінант дорівнює нулю, то \(1-4a=0\), звідки \(a=\dfrac14\). Інший випадок: квадратне рівняння має два корені, але один із них дорівнює забороненому значенню \(-\dfrac32\). Підставляємо: \(\dfrac94+\dfrac32+a=0\), тому \(a=-\dfrac{15}{4}=-3{,}75\). Це менше за \(\dfrac14\), отже відповідь \(-3{,}75\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
2
Завдання
Одна правильна відповідь
Укажіть рівняння, коренем якого є число \(2\).
Розв’язання
Перевіримо \(x=2\). У рівнянні \(\dfrac{3x-6}{x}=0\) чисельник дорівнює нулю, а знаменник не дорівнює нулю: \(\dfrac{3\cdot2-6}{2}=0\). Отже, правильна відповідь — Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
3
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\dfrac{1}{2x}=\dfrac{1}{2-3x}\).
Розв’язання
ОДЗ: \(x\ne0\), \(x\ne\dfrac23\). Перехресне множення дає \(2-3x=2x\), звідки \(5x=2\) і \(x=0{,}4\). Значення належить ОДЗ. Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
4
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\dfrac{4}{|x|}=3\).
Розв’язання
З рівняння \(\dfrac{4}{|x|}=3\) маємо \(3|x|=4\), тобто \(|x|=\dfrac43\). Отже, \(x=\pm\dfrac43\). Відповідь: Д.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
5
Завдання
Одна правильна відповідь
Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння \(\dfrac{3x-2}{x+1}=7\).
Розв’язання
ОДЗ: \(x\ne-1\). Маємо \(3x-2=7(x+1)\), тобто \(3x-2=7x+7\), \(-9=4x\), \(x=-\dfrac94=-2{,}25\). Отже, корінь належить проміжку \((-\infty;-2)\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
6
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\dfrac{x^2-10x+15}{x^2-6x+15}=\dfrac{4x}{x^2-12x+15}\). У відповідь запишіть суму цілих коренів рівняння.
Розв’язання
Після зведення до спільного знаменника чисельник рівняння розкладається так: \((x-3)(x-5)(x^2-18x+15)=0\). Корені: \(3\), \(5\), \(9\pm\sqrt{66}\). Заборонені значення зі знаменників із ними не збігаються. Цілими є лише \(3\) і \(5\), тому їх сума дорівнює \(8\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
7
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\dfrac{2}{x^2-4}+\dfrac{x-4}{x^2+2x}=\dfrac{1}{x^2-2x}\).
Розв’язання
ОДЗ: \(x\ne-2,0,2\). Розкладемо знаменники: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), \(x^2+2x=x(x+2)\), \(x^2-2x=x(x-2)\). Після множення на спільний знаменник \(x(x-2)(x+2)\) маємо \(2x+(x-4)(x-2)=x+2\). Звідси \(x^2-5x+6=0\), тобто \(x=2\) або \(x=3\). Значення \(2\) не належить ОДЗ, тому \(x=3\). Відповідь: А.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
8
Завдання
Одна правильна відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\dfrac{x^2+1}{x}+\dfrac{x}{x^2+1}=-2{,}5\).
Розв’язання
ОДЗ: \(x\ne0\). Позначимо \(t=\dfrac{x^2+1}{x}\). Тоді \(\dfrac{x}{x^2+1}=\dfrac1t\), і маємо \(t+\dfrac1t=-\dfrac52\). Після множення на \(2t\): \(2t^2+5t+2=0\), звідки \(t=-\dfrac12\) або \(t=-2\). Перше значення не дає дійсних \(x\), а з \(\dfrac{x^2+1}{x}=-2\) маємо \(x^2+2x+1=0\), тобто \(x=-1\). Відповідь: Б.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
9
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\dfrac{13x}{3x^2-5x+2}-\dfrac{12x}{3x^2+x+2}=5\). У відповідь запишіть найбільший корінь рівняння.
Розв’язання
Після зведення до спільного знаменника чисельник рівняння має множники \((x-2)(3x-1)(15x^2+14x+10)\). Квадратний множник не має дійсних коренів, тому дійсні кандидати: \(x=2\) та \(x=\dfrac13\). Обидва належать ОДЗ. Найбільший корінь — \(2\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
10
Завдання
Числова відповідь
Розв’яжіть рівняння \(\dfrac{12x}{3x^2-10x+1}-\dfrac1x=3x-6\). У відповідь запишіть число, обернене до добутку коренів рівняння.
Розв’язання
Після зведення до спільного знаменника отримуємо \((x-1)(3x-1)(3x^2-12x+1)=0\). Усі отримані корені належать ОДЗ. Добуток коренів перших двох множників дорівнює \(1\cdot\dfrac13\), а добуток коренів квадратного рівняння \(3x^2-12x+1=0\) за теоремою Вієта дорівнює \(\dfrac13\). Отже, загальний добуток дорівнює \(\dfrac19\), а обернене число — \(9\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
11
Завдання
Одна правильна відповідь
Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння \(\dfrac{x}{9-x}=\dfrac12\)?
Розв’язання
ОДЗ: \(x\ne9\). Маємо \(2x=9-x\), звідки \(3x=9\) і \(x=3\). Число \(3\) належить проміжку \((2;5]\). Відповідь: Г.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
12
Завдання
Одна правильна відповідь
Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння \(\dfrac{x}{18-2x}=\dfrac14\).
Розв’язання
ОДЗ: \(x\ne9\). За властивістю пропорції \(4x=18-2x\), тому \(6x=18\) і \(x=3\). Корінь належить проміжку \([0;4)\). Відповідь: В.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
13
Завдання
Числова відповідь
Знайдіть усі значення \(a\), за яких рівняння \(\dfrac{x^2-ax+4}{x-5}=0\) має лише один корінь. Якщо таких значень кілька, запишіть у відповіді їхній добуток.
Розв’язання
ОДЗ: \(x\ne5\). Чисельник задає \(x^2-ax+4=0\). Один допустимий корінь маємо при \(D=0\): \(a=\pm4\), а також коли один із двох коренів дорівнює забороненому \(5\): \(25-5a+4=0\), звідки \(a=\dfrac{29}{5}=5{,}8\). Добуток \((-4)\cdot4\cdot5{,}8=-92{,}8\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
14
Завдання
Числова відповідь
Визначте всі значення \(a\), за кожного з яких рівняння \(\dfrac{x^2-4x+3}{3x-a}=\dfrac{42+3x-x^2}{3x-a}\) має один корінь. Якщо таких значень кілька, запишіть у відповіді їхню суму.
Розв’язання
ОДЗ: \(3x-a\ne0\). Після прирівнювання чисельників: \(2x^2-7x-39=0\), звідки \(x_1=6{,}5\), \(x_2=-3\). Щоб залишився рівно один корінь, знаменник має обнулитися для одного з них: \(a=3\cdot6{,}5=19{,}5\) або \(a=3\cdot(-3)=-9\). Сума: \(19{,}5-9=10{,}5\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
15
Завдання
Числова відповідь
Двоє робітників, працюючи разом, можуть скосити траву на ділянці за \(2\) години \(6\) хвилин. Скільки часу (у годинах) витратить на цю роботу другий робітник самостійно, якщо йому потрібно на \(4\) години більше, ніж першому?
Розв’язання
Нехай першому потрібно \(x\) год, тоді другому — \(x+4\) год. Маємо \(2\text{ год }6\text{ хв}=\dfrac{21}{10}\) год і рівняння \(\dfrac1x+\dfrac1{x+4}=\dfrac{10}{21}\). Звідси \(5x^2-x-42=0\), допустимий додатний корінь \(x=3\). Другому потрібно \(3+4=7\) год.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
16
Завдання
Числова відповідь
Автобус вирушив з міста \(A\) до міста \(B\), відстань між якими \(150\) км. Через \(30\) хв тим самим маршрутом вирушив автомобіль, швидкість якого в \(1\dfrac15\) раза більша за швидкість автобуса. Скільки часу (у годинах) витратив на дорогу автомобіль, якщо прибув одночасно з автобусом?
Розв’язання
Нехай швидкість автобуса \(x\) км/год, тоді автомобіля — \(1{,}2x\). Різниця часу становить \(0{,}5\) год: \(\dfrac{150}{x}-\dfrac{150}{1{,}2x}=\dfrac12\). Звідси \(x=50\) км/год. Швидкість автомобіля \(60\) км/год, тому час \(150:60=2{,}5\) год.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
17
Завдання
Числова відповідь
З першої труби порожній басейн наповнюють водою на \(40\) хвилин швидше, ніж з другої. Скільки часу (у хвилинах) потрібно для наповнення басейну з першої труби, якщо з обох труб разом басейн наповнюють за \(21\) хвилину?
Розв’язання
Нехай друга труба наповнює басейн за \(x\) хв, тоді перша — за \(x-40\) хв. Маємо \(\dfrac1{x-40}+\dfrac1x=\dfrac1{21}\). Після перетворень: \(x^2-82x+840=0\), звідки \(x=12\) або \(x=70\). За змістом задачі \(x=70\), тому першій трубі потрібно \(70-40=30\) хв.
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
18
Завдання
Числова відповідь
На перегоні довжиною \(240\) км поїзд рухався зі швидкістю на \(10\) км/год меншою, ніж мав рухатися за розкладом, і запізнився на \(48\) хв. З якою швидкістю (у км/год) мав рухатися поїзд за розкладом?
Розв’язання
Нехай швидкість за розкладом \(x\) км/год, фактична — \(x-10\). Запізнення \(48\) хв = \(\dfrac45\) год, тому \(\dfrac{240}{x-10}-\dfrac{240}{x}=\dfrac45\). Отримуємо \(x^2-10x-3000=0\), корені \(-50\) і \(60\). Швидкість додатна, отже відповідь \(60\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
19
Завдання
Числова відповідь
У майстерні мали виготовити \(240\) стільців за \(n\) днів, щодня виготовляючи однакову кількість. Завдання виконали на \(2\) дні раніше, збільшивши денну норму на \(4\) стільці. Визначте \(n\).
Розв’язання
Планова норма: \(\dfrac{240}{n}\), фактична: \(\dfrac{240}{n-2}\). За умовою \(\dfrac{240}{n-2}-\dfrac{240}{n}=4\). Після спрощення \(n^2-2n-120=0\), звідки \(n=-10\) або \(n=12\). Кількість днів додатна, тому \(n=12\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
20
Завдання
Числова відповідь
Човен проплив \(18\) км проти течії річки, витративши вдвічі менше часу, ніж на подолання \(48\) км за течією. Визначте власну швидкість човна (у км/год), якщо швидкість течії дорівнює \(2{,}5\) км/год.
Розв’язання
Нехай власна швидкість човна \(x\) км/год. Час за течією: \(\dfrac{48}{x+2{,}5}\), проти течії: \(\dfrac{18}{x-2{,}5}\). За умовою \(\dfrac{48}{x+2{,}5}=2\cdot\dfrac{18}{x-2{,}5}\). Після скорочення: \(4(x-2{,}5)=3(x+2{,}5)\), звідки \(x=17{,}5\).
Фігури
Клітинка
Фігури можна вибирати, переміщувати та змінювати їх розмір.
