Thema 9 — Aufgaben

1

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \( (x+4)(x-7)\gt 3(x-7) \).

А \((7;+\infty)\) Б \((-1;7)\) В \((-1;7)\cup(7;+\infty)\) Г \((-1;+\infty)\) Д \((-\infty;-1)\cup(7;+\infty)\)

Lösung

Wir bringen alles auf eine Seite: \((x+4)(x-7)-3(x-7)\gt 0\). Ausklammern liefert \((x-7)(x+1)\gt 0\). Das Produkt ist außerhalb der Nullstellen \(-1\) und \(7\) positiv. Daher \(x\in(-\infty;-1)\cup(7;+\infty)\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

2

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(10-3x\gt 4\).

А \((-2;+\infty)\) Б \((2;+\infty)\) В \((-3;+\infty)\) Г \((-\infty;-2)\) Д \((-\infty;2)\)

Lösung

\(10-3x\gt 4\Rightarrow -3x\gt -6\). Beim Dividieren durch \(-3\) kehrt sich das Ungleichheitszeichen um: \(x\lt 2\). Also \(x\in(-\infty;2)\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

3

Aufgabe Eine richtige Antwort

Bestimmen Sie alle Werte von \(x\), für die der Ausdruck \(2-5x\) im Intervall \((-3;6)\) liegt.

А \(-1\lt x\lt 0{,}8\) Б \(-0{,}8\lt x\lt 1\) В \(0\lt x\lt 9\) Г \(-1{,}6\lt x\lt 0{,}2\) Д \(-0{,}2\lt x\lt 1{,}6\)

Lösung

Die Bedingung ist äquivalent zu \(-3\lt 2-5x\lt 6\). Aus \(-3\lt 2-5x\) folgt \(x\lt 1\), aus \(2-5x\lt 6\) folgt \(x\gt -0{,}8\). Also \(-0{,}8\lt x\lt 1\). Antwort: B.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

4

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \((18+2x)^2\cdot(x^2+8x+15)\le 0\). Geben Sie als Antwort die Summe aller ganzzahligen Lösungen an.

Ihre Antwort

Lösung

Faktorisieren: \((18+2x)^2=4(x+9)^2\) und \(x^2+8x+15=(x+3)(x+5)\). Der quadratische Faktor ist nichtnegativ und wird bei \(x=-9\) null. Sonst muss \((x+3)(x+5)\le0\), also \(x\in[-5;-3]\). Die ganzzahligen Lösungen sind \(-9,-5,-4,-3\); ihre Summe ist \(-21\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

5

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(2x\ge x^2\).

А \((-\infty;0]\cup[2;+\infty)\) Б \([0;2]\) В \((-\infty;-2]\cup[0;+\infty)\) Г \([-2;0]\) Д \((-\infty;2]\)

Lösung

\(2x\ge x^2\iff x^2-2x\le0\iff x(x-2)\le0\). Das Produkt ist zwischen den Nullstellen einschließlich der Randpunkte nichtpositiv. Daher \(x\in[0;2]\). Antwort: B.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

6

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(-\dfrac{x}{5}\gt 5\).

А \((-\infty;-25)\) Б \((-\infty;-1)\) В \((-\infty;25)\) Г \((-1;+\infty)\) Д \((-25;+\infty)\)

Lösung

Multiplikation mit \(5\) ergibt \(-x\gt 25\). Beim Multiplizieren mit \(-1\) kehrt sich das Zeichen um: \(x\lt -25\). Also \(x\in(-\infty;-25)\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

7

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(\dfrac1x\le\dfrac13\).

А \((-\infty;0)\) Б \((0;3]\) В \([3;+\infty)\) Г \((-\infty;0)\cup[3;+\infty)\) Д \((-\infty;3]\)

Lösung

Wir bringen alles auf eine Seite: \(\dfrac1x-\dfrac13=\dfrac{3-x}{3x}\le0\), mit \(x\ne0\). Kritische Punkte sind \(0\) und \(3\). Mit der Intervallmethode folgt \(x\in(-\infty;0)\cup[3;+\infty)\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

8

Aufgabe Eine richtige Antwort

Es ist bekannt, dass \(a\lt b\). Wählen Sie die richtige der angegebenen Ungleichungen.

А \(-2a\lt -2b\) Б \(\sqrt{2a}\gt \sqrt{2b}\) В \(\dfrac a3\gt \dfrac b3\) Г \(a-4\gt b-4\) Д \(0{,}5-a\gt 0{,}5-b\)

Lösung

Aus \(a\lt b\) folgt nach Multiplikation mit \(-1\): \(-a\gt -b\). Addieren wir \(0{,}5\), erhalten wir \(0{,}5-a\gt 0{,}5-b\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

9

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \((x+4)^2\le16\).

А \((-\infty;8]\) Б \((-\infty;0]\) В \((-\infty;4]\) Г \([-8;8]\) Д \([-8;0]\)

Lösung

\((x+4)^2\le16\iff |x+4|\le4\). Daher \(-4\le x+4\le4\), also \(-8\le x\le0\). Somit \(x\in[-8;0]\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

10

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(x^3\ge x^2\).

А \((-\infty;0]\cup[1;+\infty)\) Б \([0;1]\) В \([1;+\infty)\) Г \(\{0\}\cup[1;+\infty)\) Д \([-1;+\infty)\)

Lösung

\(x^3\ge x^2\iff x^2(x-1)\ge0\). Da \(x^2\ge0\), gilt die Ungleichung für \(x\ge1\) sowie für \(x=0\), wo das Produkt null ist. Also \(x\in\{0\}\cup[1;+\infty)\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

11

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(0{,}2x-54\lt0\).

А \((-\infty;27)\) Б \((270;+\infty)\) В \((-\infty;2{,}7)\) Г \((-\infty;270)\) Д \((10{,}8;+\infty)\)

Lösung

\(0{,}2x-54\lt0\Rightarrow 0{,}2x\lt54\Rightarrow x\lt270\). Also \(x\in(-\infty;270)\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

12

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \((x+4)(x-8)\gt3(x-8)\).

А \((-\infty;-1)\cup(8;+\infty)\) Б \((-1;8)\) В \((-1;8)\cup(8;+\infty)\) Г \((-1;+\infty)\) Д \((8;+\infty)\)

Lösung

Wir bringen alles auf eine Seite: \((x+4)(x-8)-3(x-8)\gt0\). Ausklammern ergibt \((x-8)(x+1)\gt0\). Das Produkt ist außerhalb der Nullstellen \(-1\) und \(8\) positiv. Daher \(x\in(-\infty;-1)\cup(8;+\infty)\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

13

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \((x^2+64)(x-5)\gt0\).

А \((5;+\infty)\) Б \((-\infty;5)\cup(5;+\infty)\) В \((5;8)\) Г \((-\infty;5)\cup(8;+\infty)\) Д \((-\infty;5)\)

Lösung

Für jedes reelle \(x\) gilt \(x^2+64\gt0\), daher wird das Vorzeichen des Produkts durch \(x-5\) bestimmt. Es muss \(x-5\gt0\) gelten, also \(x\gt5\). Somit \(x\in(5;+\infty)\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

14

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(|x+4|\cdot(x-1)\lt0\).

А \((-\infty;-4)\cup(1;+\infty)\) Б \((-4;1)\) В \((-\infty;1)\) Г \((-1;4)\) Д \((-\infty;-4)\cup(-4;1)\)

Lösung

Es gilt \(|x+4|\ge0\), und der Betrag ist nur für \(x=-4\) gleich null. Damit das Produkt negativ ist, muss \(x-1\lt0\), also \(x\lt1\), gelten; \(x=-4\) wird ausgeschlossen, weil das Produkt dort null ist. Daher \(x\in(-\infty;-4)\cup(-4;1)\). Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

15

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(x^3-2x\lt(x+2)(x^2-2x+4)\).

А \((-4;+\infty)\) Б \((-\infty;-4)\) В \((-0{,}25;+\infty)\) Г \((-\infty;-0{,}25)\) Д \((4;+\infty)\)

Lösung

Nach der Summenformel für Kuben gilt \((x+2)(x^2-2x+4)=x^3+8\). Daher \(x^3-2x\lt x^3+8\Rightarrow -2x\lt8\Rightarrow x\gt-4\). Also \(x\in(-4;+\infty)\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

16

Aufgabe Eine richtige Antwort

Welche der angegebenen Zahlen ist eine Lösung der Ungleichung \(|x|\gt3\)?

А \(3\) Б \(1\) В \(0\) Г \(-3\) Д \(-8\)

Lösung

Die Ungleichung \(|x|\gt3\) ist äquivalent zu \(x\lt-3\) oder \(x\gt3\). Von den angegebenen Zahlen erfüllt nur \(-8\) diese Bedingung. Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

17

Aufgabe Eine richtige Antwort

Geben Sie eine der angegebenen Zahlen an, die die Ungleichung \(x^2\lt9\) erfüllt.

А \(-8\) Б \(-4{,}5\) В \(-2\) Г \(3\) Д \(8\)

Lösung

\(x^2\lt9\iff |x|\lt3\iff -3\lt x\lt3\). Von den angegebenen Zahlen liegt nur \(-2\) in diesem Intervall. Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

18

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(|x-9|\le3\). Geben Sie als Antwort die Summe aller ganzzahligen Lösungen im Intervall \([-15;15]\) an.

Ihre Antwort

Lösung

\(|x-9|\le3\iff -3\le x-9\le3\iff 6\le x\le12\). Die ganzzahligen Lösungen im vorgegebenen Intervall sind \(6,7,8,9,10,11,12\). Ihre Summe ist \(63\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

19

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(4(x-2)-3(x+1)\le2x-2\).

А \((-9;+\infty)\) Б \((-\infty;9]\) В \((-\infty;-9]\) Г \([-9;+\infty)\) Д \((-\infty;-4\dfrac13]\)

Lösung

Klammern auflösen: \(4x-8-3x-3\le2x-2\), also \(x-11\le2x-2\). Daraus folgt \(-9\le x\), also \(x\ge-9\). Somit \(x\in[-9;+\infty)\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

20

Aufgabe Eine richtige Antwort

Bestimmen Sie die Summe der größten und der kleinsten natürlichen Lösung der Ungleichung \(2\le\dfrac{x-1}{2}\le3\).

А \(12\) Б \(10\) В \(11\) Г \(9\) Д \(8\)

Lösung

Wir multiplizieren die Doppelungleichung mit \(2\): \(4\le x-1\le6\). Nach Addition von \(1\) erhalten wir \(5\le x\le7\). Die natürlichen Lösungen sind \(5,6,7\). Die kleinste ist \(5\), die größte \(7\); ihre Summe ist \(12\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

21

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \( (x-1)(x-3)\le 27-2x \).

А \([-4;6]\) Б \([-4;5]\) В \((-\infty;4]\) Г \((-\infty;-4]\cup[6;+\infty)\) Д \((-4;6)\)

Lösung

Ausmultiplizieren ergibt \(x^2-4x+3\le27-2x\), also \(x^2-2x-24\le0\). Damit \( (x-6)(x+4)\le0\); das Produkt ist zwischen den Nullstellen einschließlich der Randpunkte nichtpositiv. Somit \(x\in[-4;6]\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

22

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(4x^2+4x+1\gt0\).

А \((-0{,}5;0{,}5)\) Б \((-0{,}5;+\infty)\) В \((-\infty;-0{,}5)\) Г \((-\infty;-0{,}5)\cup(-0{,}5;+\infty)\) Д \([-0{,}5;0{,}5]\)

Lösung

\(4x^2+4x+1=(2x+1)^2\). Ein Quadrat ist für alle \(x\) positiv, außer dort, wo es null ist: \(2x+1=0\Rightarrow x=-0{,}5\). Also \(x\in(-\infty;-0{,}5)\cup(-0{,}5;+\infty)\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

23

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \( (x^2-6x+8)(3-x)(x+1)\gt0\). Geben Sie als Antwort die Summe der ganzzahligen Lösungen an.

Ihre Antwort

Lösung

Wir faktorisieren \(x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\) und verwenden \(3-x=-(x-3)\). Damit erhalten wir \( (x-2)(x-4)(x-3)(x+1)\lt0\). Die kritischen Punkte sind \(-1,2,3,4\). Mit der Intervallmethode folgt \(x\in(-1;2)\cup(3;4)\). Die ganzzahligen Lösungen sind \(0\) und \(1\); ihre Summe ist \(1\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

24

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \( (x^3-1)(x^2+2x)(6-x)(49-x^2)\ge0\). Geben Sie als Antwort die größte negative ganzzahlige Lösung an.

Ihre Antwort

Lösung

Faktorisieren: \(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\), \(x^2+2x=x(x+2)\), \(49-x^2=(7-x)(7+x)\). Da \(x^2+x+1\gt0\) für alle reellen \(x\), ist die Ungleichung äquivalent zu \(x(x-1)(x+2)(x-6)(x-7)(x+7)\ge0\). Die Intervallmethode ergibt \(x\in(-\infty;-7]\cup[-2;0]\cup[1;6]\cup[7;+\infty)\). Die größte negative ganzzahlige Lösung ist \(-1\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

25

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \( (x+1)^7(3-x)^5(x-2)^2\le0\).

А \((-\infty;-1)\cup[2;3]\) Б \((-\infty;-1)\cup[3;+\infty)\) В \((-\infty;-1]\cup\{2\}\cup[3;+\infty)\) Г \([1;2)\cup[3;+\infty)\) Д \((-\infty;1)\cup\{2\}\cup[3;+\infty)\)

Lösung

Da \(3-x=-(x-3)\), lässt sich die Ungleichung als \( (x+1)^7(x-3)^5(x-2)^2\ge0\) schreiben. Die Nullstellen \(-1\) und \(3\) haben ungerade, \(2\) gerade Vielfachheit. Mit der Intervallmethode folgt \(x\in(-\infty;-1]\cup\{2\}\cup[3;+\infty)\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

26

Aufgabe Eine richtige Antwort

Bestimmen Sie die kleinste Lösung der Ungleichung \( (x+2)^2(x-1)\ge2(x+2)^2\) im Intervall \((-5;5)\).

А \(4\) Б \(5\) В \(3\) Г \(-2\) Д \(2\)

Lösung

Wir bringen die rechte Seite nach links: \( (x+2)^2[(x-1)-2]\ge0\), also \( (x+2)^2(x-3)\ge0\). Für \(x=-2\) ist das Produkt null; für \(x\ne-2\) ist der quadratische Faktor positiv, daher muss \(x\ge3\) gelten. Im Intervall \((-5;5)\) ist die Lösungsmenge \(\{-2\}\cup[3;5)\). Die kleinste Lösung ist \(-2\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

27

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(|x+1|\gt1\).

А \((-\infty;0)\) Б \((0;+\infty)\) В \((-\infty;-2)\cup(0;+\infty)\) Г \((0;2)\) Д \((-\infty;-2)\)

Lösung

Für \(|u|\gt a\) mit \(a\gt0\) gilt \(u\lt-a\) oder \(u\gt a\). Daher \(x+1\lt-1\) oder \(x+1\gt1\), also \(x\lt-2\) oder \(x\gt0\). Somit \(x\in(-\infty;-2)\cup(0;+\infty)\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

28

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(|2-x|\lt3\).

А \((-\infty;-1)\cup(5;+\infty)\) Б \((5;+\infty)\) В \((-\infty;-1)\) Г \((-1;5)\) Д \((-\infty;-5)\cup(1;+\infty)\)

Lösung

\(|2-x|=|x-2|\), daher \(|x-2|\lt3\iff -3\lt x-2\lt3\). Addiert man \(2\), erhält man \(-1\lt x\lt5\). Also \(x\in(-1;5)\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

29

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(|x-1|+|x-2|\le3\).

А \([0;3]\) Б \([0;3)\) В \((0;3]\) Г \((0;3)\) Д \(\varnothing\)

Lösung

Wir betrachten die Punkte \(1\) und \(2\). Für \(x\le1\) gilt \(|x-1|+|x-2|=3-2x\le3\Rightarrow x\ge0\), also \([0;1]\). Auf \([1;2]\) ist die Summe gleich \(1\), daher gehört das ganze Intervall zur Lösung. Für \(x\ge2\) gilt \(|x-1|+|x-2|=2x-3\le3\Rightarrow x\le3\), also \([2;3]\). Insgesamt \(x\in[0;3]\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

30

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(|2x|\ge4\).

А \((-\infty;2]\) Б \([2;+\infty)\) В \((-\infty;-2]\cup[2;+\infty)\) Г \((-\infty;+\infty)\) Д немає розв’язків

Lösung

\(|2x|=2|x|\), daher \(2|x|\ge4\iff |x|\ge2\). Somit \(x\le-2\) oder \(x\ge2\). Also \(x\in(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

31

Aufgabe Eine richtige Antwort

Wählen Sie unter den angegebenen Zahlen die kleinste, die die Ungleichung \(2x+7\gt27\) erfüllt.

А \(0\) Б \(5\) В \(10\) Г \(15\) Д \(20\)

Lösung

\(2x+7\gt27\Rightarrow2x\gt20\Rightarrow x\gt10\). Von den angegebenen Zahlen erfüllen \(15\) und \(20\) die Bedingung; die kleinste ist \(15\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

32

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(2x-1\ge0\).

А \([ -\dfrac12;+\infty)\) Б \((-\infty;-\dfrac12]\) В \((-\infty;\dfrac12]\) Г \([\dfrac12;+\infty)\) Д \([1;+\infty)\)

Lösung

\(2x-1\ge0\Rightarrow2x\ge1\Rightarrow x\ge\dfrac12\). Also \(x\in[\dfrac12;+\infty)\). Antwort: D.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

33

Aufgabe Eine richtige Antwort

Welche der angegebenen Zahlen ist eine Lösung der Ungleichung \(|-2x-3|\gt5\)?

А \(-2\) Б \(-1\) В \(0\) Г \(1\) Д \(2\)

Lösung

Für \(x=2\) gilt \(|-2\cdot2-3|=|-7|=7\gt5\). Daher ist \(2\) eine Lösung. Antwort: E.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

34

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(x+3\le0\).

А \([0;3]\) Б \((-\infty;3]\) В \((-\infty;-3]\) Г \((3;+\infty)\) Д \((-3;+\infty)\)

Lösung

\(x+3\le0\Rightarrow x\le-3\). Also \(x\in(-\infty;-3]\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

35

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(-x^2-x+6\lt0\).

А \((-\infty;-2)\cup(3;+\infty)\) Б \((-3;2)\) В \((-\infty;-3)\cup(2;+\infty)\) Г \((-2;3)\) Д \((6;+\infty)\)

Lösung

Multiplikation mit \(-1\) kehrt das Zeichen um: \(x^2+x-6\gt0\). Damit \((x+3)(x-2)\gt0\), also ist das Produkt außerhalb der Nullstellen positiv: \(x\in(-\infty;-3)\cup(2;+\infty)\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

36

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(3x-7\le8\).

А \((-\infty;5]\) Б \([5;+\infty)\) В \((-\infty;\dfrac13]\) Г \((-5;+\infty)\) Д \((-\infty;-5]\)

Lösung

\(3x-7\le8\Rightarrow3x\le15\Rightarrow x\le5\). Also \(x\in(-\infty;5]\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

37

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \((x-5)(x+2)\ge0\).

А \([-2;5]\) Б \((-2;5)\) В \((-\infty;-2]\cup[5;+\infty)\) Г \((-\infty;2]\cup[5;+\infty)\) Д \((-\infty;-5]\cup[2;+\infty)\)

Lösung

Die Nullstellen sind \(x=-2\) und \(x=5\). Das Produkt ist außerhalb des Intervalls zwischen den Nullstellen einschließlich der Randpunkte nichtnegativ. Daher \(x\in(-\infty;-2]\cup[5;+\infty)\). Antwort: C.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

38

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \((x-2)^2\lt9\).

А \((-1;5)\) Б \([-1;5]\) В \((-\infty;-1)\cup(5;+\infty)\) Г \((-3;3)\) Д \((-5;1)\)

Lösung

\((x-2)^2\lt9\iff |x-2|\lt3\iff -3\lt x-2\lt3\). Nach Addition von \(2\): \(-1\lt x\lt5\). Also \(x\in(-1;5)\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

39

Aufgabe Eine richtige Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \(|2x+1|\le5\).

А \([-3;2]\) Б \((-3;2)\) В \([-2;3]\) Г \((-\infty;-3]\cup[2;+\infty)\) Д \([-3;3]\)

Lösung

\(|2x+1|\le5\iff -5\le2x+1\le5\). Nach Subtraktion von \(1\): \(-6\le2x\le4\); Division durch \(2\) ergibt \(-3\le x\le2\). Also \(x\in[-3;2]\). Antwort: A.

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

40

Aufgabe Numerische Antwort

Lösen Sie die Ungleichung \((x+4)(x-1)(x-3)\le0\). Geben Sie als Antwort die Summe aller ganzzahligen Lösungen im Intervall \([-6;4]\) an.

Ihre Antwort

Lösung

Die kritischen Punkte sind \(-4,1,3\). Bei einem kubischen Polynom mit positivem Leitkoeffizienten wechseln die Vorzeichen, daher gilt die Ungleichung für \(x\in(-\infty;-4]\cup[1;3]\). Im Intervall \([-6;4]\) sind die ganzzahligen Lösungen \(-6,-5,-4,1,2,3\). Ihre Summe ist \(-9\).

Figuren können ausgewählt, verschoben und in der Größe verändert werden.

Ganzrationale Ungleichungen