Nach der Definition des Logarithmus ist \(\log_3x=-1\) äquivalent zu \(x=3^{-1}\). Daher \(x=\dfrac13\). Antwort: A.
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2
Aufgabe
Numerische Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\log_6(x-3)+\log_6(x-8)=2\). Gibt es eine Lösung, geben Sie diese an; gibt es zwei Lösungen, geben Sie deren Summe an.
Lösung
Definitionsbereich: \(x\gt8\). Es gilt \(\log_6((x-3)(x-8))=2\), also \((x-3)(x-8)=36\). Daraus folgt \(x^2-11x-12=0\) mit den Lösungen \(12\) und \(-1\). Nur \(12\) liegt im Definitionsbereich.
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3
Aufgabe
Numerische Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(|3\lg x+1|-|\lg x-3|=2\). Gibt es eine Lösung, geben Sie diese an; gibt es mehrere, geben Sie die Summe aller Lösungen an.
Lösung
Definitionsbereich: \(x\gt0\). Setzen wir \(t=\lg x\). Dann \(|3t+1|-|t-3|=2\). Die kritischen Punkte sind \(-\frac13\) und \(3\). Für \(t\lt-\frac13\) erhält man \(t=-3\), also \(x=0{,}001\). Für \(-\frac13\le t\lt3\) erhält man \(t=1\), also \(x=10\). Im dritten Intervall gibt es keine Lösung. Die Summe ist \(10{,}001\).
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4
Aufgabe
Numerische Antwort
Lösen Sie die Gleichung \((\log_5x)^2+\log_5x=2\). Gibt es eine Lösung, geben Sie diese an; bei mehreren Lösungen deren Summe; bei keiner Lösung \(100\).
Lösung
Definitionsbereich: \(x\gt0\). Setzen wir \(t=\log_5x\). Dann \(t^2+t-2=0\), also \(t=-2\) oder \(t=1\). Somit \(x_1=0{,}04\) und \(x_2=5\). Die Summe ist \(5{,}04\).
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5
Aufgabe
Eine richtige Antwort
In welchem Intervall liegt die Lösung der Gleichung \(\log_2x=2\log_2 3\)?
Lösung
\(2\log_2 3=\log_2 9\), daher \(x=9\). Somit \(9\in(8;10]\). Antwort: E.
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6
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Geben Sie die Zahl an, die Lösung der Gleichung \(-\log_2x=3\) ist.
Lösung
\(-\log_2x=3\Rightarrow\log_2x=-3\). Daher \(x=2^{-3}=\dfrac18\). Antwort: D.
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7
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Geben Sie das Intervall an, in dem die Lösung der Gleichung \(\log_{\frac13}(x+1)=-2\) liegt.
Lösung
\(x+1=(1/3)^{-2}=9\), also \(x=8\). Damit \(8\in(7;9]\). Antwort: E.
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8
Aufgabe
Numerische Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\log_4x\cdot\left(\log_4x+\log_4\dfrac1{16}\right)=3\). Gibt es eine Lösung, geben Sie diese an; bei mehreren Lösungen deren Summe; bei keiner Lösung \(100\).
Lösung
Definitionsbereich: \(x\gt0\). Es ist \(\log_4(1/16)=-2\). Setzen wir \(t=\log_4x\). Dann \(t(t-2)=3\), also \(t=-1\) oder \(t=3\). Somit \(x_1=0{,}25\), \(x_2=64\), Summe \(64{,}25\).
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9
Aufgabe
Numerische Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\log_{0{,}4}(5x^2-8)=\log_{0{,}4}(-3x)\). Gibt es eine Lösung, geben Sie diese an; bei mehreren Lösungen deren Summe.
Lösung
Definitionsbereich: \(5x^2-8\gt0\) und \(-3x\gt0\), also insbesondere \(x\lt0\). Wir setzen die Argumente gleich: \(5x^2-8=-3x\). Daraus folgen \(x=1\) und \(x=-1{,}6\). Nur \(-1{,}6\) liegt im Definitionsbereich.
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10
Aufgabe
Numerische Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\log_{x^2-1}(x^3+6)=\log_{x^2-1}(4x^2-x)\). Geben Sie die Summe der Lösungen an.
Lösung
Für den Logarithmus müssen die Basis \(x^2-1\) positiv und von \(1\) verschieden sowie beide Argumente positiv sein. Im Definitionsbereich gilt \(x^3+6=4x^2-x\). Das ergibt \((x+1)(x-2)(x-3)=0\). \(x=-1\) ist unzulässig, \(x=2\) und \(x=3\) sind zulässig. Die Summe ist \(5\).
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11
Aufgabe
Eine richtige Antwort
In welchem der angegebenen Intervalle liegt die Lösung der Gleichung \(\log_3 x=2\)?
Lösung
Nach der Definition des Logarithmus gilt \(x=3^2=9\). Die Zahl \(9\) liegt im Intervall \((8;11]\). Antwort: E.
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12
Aufgabe
Numerische Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\log_2x+\log_2(x-7)=3\). Gibt es genau eine Lösung, geben Sie diese an; bei mehreren Lösungen deren Summe.
Lösung
Definitionsbereich: \(x\gt7\). Wir erhalten \(\log_2(x(x-7))=3\), also \(x^2-7x-8=0\). Die Kandidaten sind \(8\) und \(-1\); nur \(8\) liegt im Definitionsbereich.
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13
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\log_x(2x^2-3x-4)=2\).
Lösung
Für die Logarithmusbasis gilt \(x\gt0\) und \(x\ne1\). Aus der Definition folgt \(2x^2-3x-4=x^2\), also \((x-4)(x+1)=0\). Die Kandidaten sind \(4\) und \(-1\); nur \(4\) ist als Basis zulässig. Antwort: B.
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14
Aufgabe
Numerische Antwort
Lösen Sie das Gleichungssystem \(\begin{cases}2^{2y-x}=32,\\ \log_{\frac12}(y-x)=-2.\end{cases}\). Geben Sie das Produkt \(x_0y_0\) der Lösung \((x_0;y_0)\) an.
Lösung
Aus der ersten Gleichung folgt \(2y-x=5\). Aus der zweiten folgt \(y-x=4\). Daher \(y=1\) und \(x=-3\). Somit \(x_0y_0=-3\).
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15
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(x-1+\log_4 3=\log_4(5^x-4^{x-1})\).
Lösung
Wir schreiben die linke Seite als Logarithmus: \(x-1+\log_4 3=\log_4(3\cdot4^{x-1})\). Daher \(3\cdot4^{x-1}=5^x-4^{x-1}\), also \(4^x=5^x\). Somit \((4/5)^x=1\) und \(x=0\). Der Logarithmusargument ist dabei positiv. Antwort: C.
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16
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Welche der angegebenen Zahlen ist eine Lösung der Gleichung \(\log_4(x-1)=3\)?
Lösung
Nach der Definition gilt \(x-1=4^3=64\). Daher \(x=65\). Antwort: D.
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17
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Geben Sie das Intervall an, in dem die Lösung von \(\log_{64}x=\dfrac12\) liegt.
Lösung
Nach der Definition gilt \(x=64^{1/2}=8\). Somit \(8\in(6;32)\). Antwort: D.
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18
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(4+\log_{\frac12}x=0\).
Lösung
\(\log_{1/2}x=-4\), also \(x=(1/2)^{-4}=16\). Antwort: E.
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19
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\lg(5x-3)=1\).
Lösung
Es gilt \(5x-3=10\). Daher \(5x=13\) und \(x=\dfrac{13}{5}=2{,}6\). Antwort: C.
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20
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\log_2(2x+1)=\log_2(9x+17)-\log_2(x+5)\).
Lösung
Definitionsbereich: \(x\gt-\dfrac12\). Nach Zusammenfassen der Logarithmen gilt \((2x+1)(x+5)=9x+17\). Daraus folgt \(x^2+x-6=0\), also \(x=2\) oder \(x=-3\). Nur \(x=2\) liegt im Definitionsbereich. Antwort: B.
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21
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\log_5\!\left(\log_4\!\left(\log_3x\right)\right)=0\).
Lösung
Aus \(\log_5(\log_4(\log_3x))=0\) folgt \(\log_4(\log_3x)=1\). Daher \(\log_3x=4\) und somit \(x=3^4=81\). Antwort: E.
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22
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \((\log_2x)^2-\log_2x^5=4\log_2 64\).
Lösung
Definitionsbereich: \(x\gt0\). Setzen wir \(t=\log_2x\). Dann erhalten wir \(t^2-5t-24=0\), also \(t=8\) oder \(t=-3\). Somit \(x=256\) oder \(x=\dfrac18\). Antwort: D.
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23
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\log_8(x-7)+\log_3(7-x)=11\).
Lösung
Für den ersten Logarithmus muss \(x\gt7\) gelten, für den zweiten \(x\lt7\). Diese Bedingungen sind unvereinbar, daher gibt es keine Lösung. Antwort: A.
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24
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Lösen Sie die Gleichung \(\log_x7+2\log_x7=3\).
Lösung
Für die Basis gilt \(x\gt0\), \(x\ne1\). Aus \(3\log_x7=3\) folgt \(\log_x7=1\), also \(x=7\). Antwort: E.
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25
Aufgabe
Numerische Antwort
Bestimmen Sie den kleinsten ganzzahligen Wert des Parameters \(a\), für den die Gleichung \(\log_8(x+2)=\log_8(2x-a)\) Lösungen besitzt.
Lösung
Aus der Gleichheit der Logarithmen folgt \(x=a+2\). Die Argumente müssen positiv sein; nach Einsetzen erhält man \(a+4\gt0\), also \(a\gt-4\). Der kleinste ganzzahlige Wert ist \(-3\).
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26
Aufgabe
Numerische Antwort
Bestimmen Sie alle Werte des Parameters \(a\), für die das Produkt der Lösungen der Gleichung \[(\log_2x)^2-(2a^2-a)\log_2x+1-2a=0\] gleich \(8\) ist. Gibt es genau einen solchen Wert, geben Sie ihn an; bei mehreren den kleinsten.
Lösung
Setzen wir \(t=\log_2x\). Aus \(x_1x_2=2^{t_1+t_2}=8=2^3\) folgt \(t_1+t_2=3\). Nach Vieta ist \(t_1+t_2=2a^2-a\), also \(a=-1\) oder \(a=1{,}5\). Für \(a=-1\) ist die Diskriminante negativ; für \(a=1{,}5\) positiv. Daher ist nur \(a=1{,}5\) zulässig.
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27
Aufgabe
Numerische Antwort
Bestimmen Sie den Wert des Parameters \(a\), für den eine Lösung der Gleichung \[\lg(\sin5\pi x)=\sqrt{16+a-x}\] im Intervall \(\left[\dfrac32;2\right]\) liegt.
Lösung
Da \(0\lt\sin5\pi x\le1\), gilt \(\lg(\sin5\pi x)\le0\), während die rechte Seite nichtnegativ ist. Also müssen beide Seiten null sein. Damit \(\sin5\pi x=1\) und \(16+a-x=0\). Im Intervall \([3/2;2]\) ergibt die erste Gleichung einzig \(x=1{,}7\). Somit \(a=1{,}7-16=-14{,}3\).
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28
Aufgabe
Ausführliche Antwort
Gegeben ist die Gleichung \[\frac{(x-2)\left(x^2-3(a-1)x+2a^2-3a\right)}{\log_{0{,}5}(3-2x)+2}=0,\] wobei \(x\) die Variable und \(a\) ein Parameter ist. 1. Bestimmen Sie den Definitionsbereich für \(x\). 2. Lösen Sie die Gleichung in Abhängigkeit von \(a\).
Lösung
1. Es muss \(3-2x\gt0\) gelten und der Nenner darf nicht null sein. Daraus folgt \(x\lt1{,}5\) und \(x\ne-0{,}5\), also \(x\in(-\infty;-0{,}5)\cup(-0{,}5;1{,}5)\).
2. Der Faktor \(x-2\) liefert keine zulässige Lösung. Der quadratische Faktor zerfällt zu \((x-a)(x-(2a-3))\). Daher sind die möglichen Lösungen \(x=a\) und \(x=2a-3\), jeweils unter Beachtung des Definitionsbereichs. Für \(x=a\) gilt \(a\in(-\infty;-0{,}5)\cup(-0{,}5;1{,}5)\). Für \(x=2a-3\) gilt \(a\in(-\infty;1{,}25)\cup(1{,}25;2{,}25)\). Daraus ergeben sich die entsprechenden Fallunterscheidungen.
Formen
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29
Aufgabe
Eine richtige Antwort
Geben Sie das Intervall an, in dem die Lösung der Gleichung \(1-\log_{0{,}5}x=3\) liegt.
Lösung
Aus \(1-\log_{0{,}5}x=3\) folgt \(\log_{0{,}5}x=-2\). Daher \(x=(0{,}5)^{-2}=4\), und \(4\in[3;10)\). Antwort: D.
Formen
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30
Aufgabe
Numerische Antwort
Bestimmen Sie die Summe aller ganzzahligen Werte von \(a\), für die die Gleichung \(\lg(2ax+5-a)=\lg(4x)\) keine Lösung besitzt.
Lösung
Der Definitionsbereich verlangt \(x\gt0\). Die Gleichheit der Logarithmen ergibt \(x(2a-4)=a-5\). Für \(a=2\) entsteht ein Widerspruch, also keine Lösung. Für \(a\ne2\) gilt \(x=\dfrac{a-5}{2a-4}\). Keine Lösung liegt vor, wenn \(x\le0\), also für \(a\in(2;5]\). Zusammen mit \(a=2\) erhält man \([2;5]\). Die ganzzahligen Werte sind \(2,3,4,5\), ihre Summe ist \(14\).
Formen
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