NMT / ZNO

Formeln und Nachschlagewerk

Mathematisches Kurz-Nachschlagewerk in zwei Stufen: NMT-Prüfungsblatt und vollständige ZNO-Formelsammlung.

NMT — Prüfungsblatt · Algebra · 63 Formeln

NMT-Modus Es wird nur der kurze Satz der NMT-2026-Hilfsmaterialien angezeigt.

Zahlen und Betrag

Betrag

Betrag einer Zahl

\[|a|=\begin{cases}a,&a\ge0\\-a,&a\lt 0\end{cases}\]

Potenzen und Wurzeln

Potenzen

Nullte Potenz

\[a^0=1\]

Bedingung \(a\ne0\)

Negativer ganzzahliger Exponent

\[a^{-n}=\frac1{a^n}\]

Bedingung \(a\ne0,\ n\in\mathbb N\)

Produkt von Potenzen

\[a^m a^n=a^{m+n}\]

Quotient von Potenzen

\[\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\]

Bedingung \(a\ne0\)

Potenz einer Potenz

\[(a^m)^n=a^{mn}\]

Potenz eines Produkts

\[(ab)^n=a^n b^n\]

Potenz eines Quotienten

\[\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\]

Bedingung \(b\ne0\)

Rationaler Exponent

\[a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}\]

Bedingung \(a\gt 0,\ m\in\mathbb Z,\ n\in\mathbb N,\ n\ge2\)

Potenzen und Wurzeln

Wurzeln

Quadratwurzel aus einem Quadrat

\[\sqrt{a^2}=|a|\]

Algebraische Formeln

Binomische und algebraische Formeln

Differenz zweier Quadrate

\[a^2-b^2=(a-b)(a+b)\]

Quadrat einer Summe

\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]

Quadrat einer Differenz

\[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]

Quadratische Gleichung

\[ax^2+bx+c=0\]

Bedingung \(a\ne0\)

Diskriminante

\[D=b^2-4ac\]

Lösungen für D>0

\[x_1=\frac{-b-\sqrt D}{2a}\]

\[x_2=\frac{-b+\sqrt D}{2a}\]

Bedingung \(D\gt 0\)

Lösung für D=0

\[x_1=x_2=-\frac b{2a}\]

Bedingung \(D=0\)

Faktorisierung eines quadratischen Trinoms

\[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\]

Folgen

Arithmetische Folge

n-tes Glied einer arithmetischen Folge

\[a_n=a_1+d(n-1)\]

Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge

\[S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\,n\]

Folgen

Geometrische Folge

n-tes Glied einer geometrischen Folge

\[b_n=b_1q^{\,n-1}\]

Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge

\[S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\]

Bedingung \(q\ne1\)

Exponentialausdrücke und Logarithmen

Logarithmen

Logarithmus von eins

\[\log_a1=0\]

Bedingung \(a\gt 0,\ a\ne1\)

Logarithmus der Basis

\[\log_a a=1\]

Bedingung \(a\gt 0,\ a\ne1\)

Grundlegende logarithmische Identität

\[a^{\log_a b}=b\]

Bedingung \(a\gt 0,\ a\ne1,\ b\gt 0\)

Logarithmus eines Produkts

\[\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac\]

Bedingung \(a\gt 0,\ a\ne1,\ b\gt 0,\ c\gt 0\)

Logarithmus eines Quotienten

\[\log_a\frac bc=\log_ab-\log_ac\]

Bedingung \(a\gt 0,\ a\ne1,\ b\gt 0,\ c\gt 0\)

Logarithmus einer Potenz

\[\log_a b^n=n\log_a b\]

Bedingung \(a\gt 0,\ a\ne1,\ b\gt 0\)

Logarithmus einer Wurzel

\[\log_a\sqrt[k]{b}=\frac1k\log_a b\]

Bedingung \(a\gt 0,\ a\ne1,\ b\gt 0,\ k\ne0\)

Trigonometrie

Grundlegende trigonometrische Identität

\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]

Tangens

\[\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\]

Bedingung \(\cos\alpha\ne0\)

Identität für den Tangens

\[1+\tg^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha}\]

Bedingung \(\cos\alpha\ne0\)

Sinus des doppelten Winkels

\[\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\]

Kosinus des doppelten Winkels

\[\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\]

\[\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1\]

\[\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha\]

Formeln für 90°+α

\[\sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha\]

\[\cos(90^\circ+\alpha)=-\sin\alpha\]

\[\tg(90^\circ+\alpha)=-\frac1{\tg\alpha}\]

Formeln für 180°−α

\[\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha\]

\[\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha\]

\[\tg(180^\circ-\alpha)=-\tg\alpha\]

Ableitung

Ableitungen

Ableitung einer Konstanten

\[(C)'=0\]

Ableitung von x

\[x'=1\]

Ableitung einer Potenzfunktion

\[(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}\]

Ableitung der Quadratwurzel

\[(\sqrt{x})'=\frac1{2\sqrt{x}}\]

Ableitung von e^x

\[(e^x)'=e^x\]

Ableitung von ln x

\[(\ln x)'=\frac1x\]

Ableitung von sin x

\[(\sin x)'=\cos x\]

Ableitung von cos x

\[(\cos x)'=-\sin x\]

Ableitung von tg x

\[(\tg x)'=\frac1{\cos^2x}\]

Ableitung

Ableitungsregeln

Ableitung einer Summe

\[(u+v)'=u'+v'\]

Ableitung einer Differenz

\[(u-v)'=u'-v'\]

Ableitung eines Produkts

\[(uv)'=u'v+uv'\]

Ableitung eines Quotienten

\[\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\]

Bedingung \(v\ne0\)

Konstanter Faktor

\[(Cu)'=Cu'\]

Stammfunktion und Integral

Stammfunktionen

Stammfunktion von 1

\[\int 1\,dx=x+C\]

Stammfunktion einer Potenzfunktion

\[\int x^\alpha dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C,\quad \alpha\ne-1\]

Stammfunktion von 1/x

\[\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C\]

Stammfunktion von e^x

\[\int e^x dx=e^x+C\]

Stammfunktion von sin x

\[\int\sin x\,dx=-\cos x+C\]

Stammfunktion von cos x

\[\int\cos x\,dx=\sin x+C\]

Stammfunktion von 1/cos²x

\[\int\frac{dx}{\cos^2x}=\tg x+C\]

Stammfunktion und Integral

Bestimmtes Integral

Newton-Leibniz-Formel

\[\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\]

Kombinatorik

Fakultät

\[n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n\]

Permutationen

\[P_n=n!\]

Variationen ohne Wiederholung

\[A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\]

Kombinationen

\[C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Wahrscheinlichkeit und Statistik

Wahrscheinlichkeit

Klassische Wahrscheinlichkeit

\[P(A)=\frac mn\]

m — Anzahl günstiger gleichwahrscheinlicher Ergebnisse; n — Gesamtzahl der Ergebnisse.

Tabelle trigonometrischer Werte

α	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
sin α	\(0\)	\(1/2\)	\(\sqrt2/2\)	\(\sqrt3/2\)	\(1\)	\(0\)	\(-1\)	\(0\)
cos α	\(1\)	\(\sqrt3/2\)	\(\sqrt2/2\)	\(1/2\)	\(0\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)
tg α	\(0\)	\(1/\sqrt3\)	\(1\)	\(\sqrt3\)	\(\text{—}\)	\(0\)	\(\text{—}\)	\(0\)

Quadrattabelle 10–49

10² = 100 11² = 121 12² = 144 13² = 169 14² = 196 15² = 225 16² = 256 17² = 289 18² = 324 19² = 361 20² = 400 21² = 441 22² = 484 23² = 529 24² = 576 25² = 625 26² = 676 27² = 729 28² = 784 29² = 841 30² = 900 31² = 961 32² = 1024 33² = 1089 34² = 1156 35² = 1225 36² = 1296 37² = 1369 38² = 1444 39² = 1521 40² = 1600 41² = 1681 42² = 1764 43² = 1849 44² = 1936 45² = 2025 46² = 2116 47² = 2209 48² = 2304 49² = 2401